Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab Grundlagen der Vektorrechnung.

Vektoren

Normalvektoren

Normalvektoren

Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

Merke

Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

Merke

Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen 2 Vektoren

$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$ bzw. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$).
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

Orthogonalitätskriterium

Merke

Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!) $\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Notmalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:

Geraden

Darstellungsformen

Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

Parameterdarstellung

Parameterdarstellung einer Geraden

$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$
wobei

• $X \in g$ ist ein beliebiger Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
• $P \in g$ ist ein bekannter Punkt auf der Geraden
• $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
• $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter Grundlagen der Vektorrechnung.)
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen: $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

Normalvektorform

Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

Allgemeine Geradengleichung

Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

1. Multiplikation mit Normalvektor: Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

2. Elimination des Parameters: Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung. Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

• ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
• parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
• einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

Sind uns 2 Geraden in Parameterdarstellung gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren.
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel.
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der allgemeinen Geradenform gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von Gleichungssystemen genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

Normalabstand Punkt - Gerade

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:

Merke

1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt. 2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.

In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

Hesse'sche Abstandsformel

Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen.
$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $,
wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Gespiegelter Punkt Q'

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also:
$Q' = S + \vec{QS}$

Vektoren

Kreuzprodukt

Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.

Merke

Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt $$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

Normalvektoren

Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also: $$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks

Merke

Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche). Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.

Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren

Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:

Skalarprodukt
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.

Orthogonalitätskriterium
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!) $$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$ Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.

Winkel zwischen zwei Vektoren $$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

Geraden

Darstellungsformen

Parameterdarstellung

Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben. $$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$ Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

Parameterfreie Darstellungsform

Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

• ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
• parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
• einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
• windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

Betrachtung der Richtungsvektoren: Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

Fall 1: Die Vektoren sind parallel: Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade).
Fall 1a: Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen.
Fall 1b: Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel, da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel: Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief.
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen.
Fall 2a: Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander schneiden. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt.
Fall 2b: Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt, du dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit windschief sind.

Um das oben Beschriebene besser nachvollziehen zu können und zu festigen, siehst du dir am besten das folgende Video an, oder du wirfst einen Blick auf passende Beispiele zum $\mathbb{R^3}$ im Tab 'Beispiele' (kommt noch).

Ebenen

Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

Darstellungsformen

Parameterdarstellung

$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$ bzw. $$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$ wobei

• $X \in \epsilon$ ist ein beliebiger Punkt auf der unendlichen Ebene
• $P \in \epsilon$ ist ein bekannter Punkt auf der Ebene
• $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
• $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

Normalvektorform

Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält schließlich $$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

Allgemeine Ebenengleichung

$$ax + by + cz = d$$ Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

1. Multiplikation mit Normalvektor: Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

2. Elimination des Parameters: Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Lagebeziehungen

...zwischen zwei Ebenen

Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

• ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
• parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
• sich schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

...zwischen 3 Ebenen

Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

• alle ident sein
• 2 ident, 1 parallel sein
• alle parallel sein
• 3 Schnittgeraden haben
• 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
• 1 Schnittgerade haben
• 1 Schnittpunkt haben

...zwischen Ebene und Gerade

Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

• $g \in \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene
• parallel sein
• 1 Schnittpunkt haben

Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

Grundlagen der Vektorrechnung

VektorrechnungGLBspAngabe.pdf
VektorrechnungGLBspLösung.pdf

Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$

VektorrechnungR2BspAngabe.pdf
VektorrechnungR2BspLösung.pdf