Lineare Optimierung: Unterschied zwischen den Versionen

1. Meistens gibt es nur einen Lösungspunkt. Es kann aber auch vorkommen, dass die Zielfunktion zu einer Begrenzungsgeraden parallel ist und hier auch optimal ist. Jeder Punkt der Geraden, der auch im Planungsfeld liegt, ist dann Lösungspunkt.
2. Die hier beschriebene graphische Lösungsmethode ist nur für zwei (höchstens drei) Variable anwendbar. In der Praxis treten viel mehr Variable auf; solche Verfahren sind nur noch mit rechnerischen Methoden (z.B.: Simplex-Algorithmus) zu bewältigen.
3. Hauptsatz der linearen Optimierung:

   Die Zielfunktion erreicht ihr Maximum oder Minimum stets am Rand des zulässigen Bereichs. In den meisten Aufgabenstellungen ist die Lösung eindeutig und liegt in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs.

Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.

$$ I:x\leq 70$$ $$II: y\leq 100 $$

$$ III: x+y\leq 140 \rightarrow y\leq -x+140 $$Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x\geq 0 \textrm{ und }V: y\geq 0$$

Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:

$$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\ &\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20} \end{align}$$

1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:

$\begin{align} I:&x\leq 70&\\ II:&y\leq 100&\\ III: &x+y\leq 140& \rightarrow y\leq -x+140 \\ IV:& x\geq 0&\\ V: &y\leq 0& \end{align}$

2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.

$$y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20}\rightarrow k=\frac{25}{20} \textrm{und d kann frei gewählt werden.}$$

Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt von $I: x=70$ und $II: y=-x+140$. (Hinweis: Natürlich können die Koordinaten des optimalen Punktes auch abgelesen werden, wir wollen sie hier aber berechnen).


3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:

$$I: x=70$$ $$III: y=-x+140$$ Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen. $$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$ Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$


4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen: $$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$

5. Schritt: Antwortsatz Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.