Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Erwartungswert und Standardabweichung)
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Im Kapitel [[Beschreibende Statistik]] haben wir bereits Begriffe wie die [[relative Häufigkeit]], das [[arithmetische Mittel]] und die [[Standardabweichung]] kennen gelernt.
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Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:
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| Mittel|| '''Erwartungswert''' $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$|| '''Arithmetisches Mittel''' $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
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| Streuung || '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$|| '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$
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=== Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens ===
 
=== Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens ===

Version vom 2. November 2014, 16:45 Uhr

Zufallsvariablen

Definition
Grün rufezeichen.png
 Das Ergenis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "Zufallsvariable" $X$ beschrieben werden.

Die Zufallsvariable ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.


Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zufällig annehmen (d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$Wertebereich von $X$). Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl 6 annimmt ist: $$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$


Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:

  • Die diskrete Zufallsvariable hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen)
  • Die stetige Zufallsvariable hat als Wertebereich ein Intervall in den reellen Zahlen einen nicht abzählbaren Wertebereich

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.

Diskrete Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:

$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$ wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)


Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:

Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, som müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen: $$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Verteilungsfunktion $F$ ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.


Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:

Verteilungsfunktion $F$ für die das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt.


Hinweise zur Verteilungsfunktion:

Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
- die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.
- Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)
- Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
- Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).
- Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe oben).


Erwartungswert und Standardabweichung

Im Kapitel Beschreibende Statistik haben wir bereits Begriffe wie die relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung kennen gelernt. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

Idee ... in der Wahrscheinlichkeitsrechung in der Statistik
Prozent Wahrscheinlichkeit $$P(X=x_i)$$ relative Häufigkeit $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
Mittel Erwartungswert $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$ Arithmetisches Mittel $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
Streuung Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$ Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$

Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens

Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung


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