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b) Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
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<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
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$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$
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$$s(t)=\int  7,94 \cdot dt$$
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$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$
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$$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$
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- die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!
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<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
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$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$
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- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!
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<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
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<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
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$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$
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$$v(300)= 2382 m/s$$

Version vom 3. Oktober 2014, 12:59 Uhr

Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung

Erklärung

s(t) gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)

v(t) gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).

a(t) gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)



Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:

Integrieren.png














Aufgaben

Beispiel 1:

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s². Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s². Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.


a)Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)


Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.


$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$ $$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$ $$v(t)=5,5 \cdot t$$

Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$


b) Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.


Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5t (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c*t wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c*t nach dem integrieren wegfällt.


$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2$$


Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$



c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia). Berechnen Sie:



- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.


Tipp zur Berechnung:

s(t) ist die Formel der zurückgelegten Strecke! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach 180 Sekunden befindet. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis in Metern. Wenn das Ergebnis in km erwünscht wäre, müsste man noch m in km umrechnen.


$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89100 m$$


Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.


- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt


Das k der Tangente gibt die Geschwindigkeit an


Tipp zur Berechnung:

v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten angibt! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach 180 Sekunden ist. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis m/s. Wenn das Ergebnis in km/h erwünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch * 3,6 rechnen.


$$v(t)=5,5 \cdot t$$ $$v(180)=5,5 \cdot 180$$ $$v(180)=990 m/s$$

$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$


Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.


d) Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.


Tipp zur Berechnung:

Die Funktion s(t) beschreibt uns das Verhältnis von Zeit und Weg und wann die Rakete welche Höhe erreicht hat. Deshalb setzten wir nun bei der Höhe 1.000.000 m ein und erzielen dadurch den Zeitpunkt, an dem die Rakete diese Höhe erreicht. Da wir aber m/sek benötigen rechnen wir zuerst die km in Meter um.


$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$ $$t=603,02$$


Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.

Beispiel 2

Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2. Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.



a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)


Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.


$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 7,94 \cdot dt$$ $$v(t)=7,94 \cdot t (+ c)$$ $$v(t)=7,94 \cdot t$$


b) Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.


Tipp zur Berechnung:

Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.


$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$ $$s(t)=\int 7,94 \cdot dt$$ $$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$ $$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$ $$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$


c) Berechnen Sie ... - die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!


Tipp zur Berechnung:

Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).


$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$ $$s(300)= 357300 m$$


- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!


Tipp zur Berechnung:

Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).


$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$ $$v(300)= 2382 m/s$$

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