Quelltext der Seite Der Logarithmus (2.3.)

Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$
nach x auflösen zu können. 

==Der Logarithmus ist der Exponent==
Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten [[Potenzen (2.2.)|Basis a]], mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:

$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$
dann heißt
$$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$
$$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$


'''Beispiele'''

* $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
* $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.

{{Vorlage:Merke|1= Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.
$$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$
}}

==Berechnung mithilfe der Potenzregeln==
Mithilfe der [[Potenzen_(2.2.)#Rechnen_mit_Potenzen|Potenzregeln]] und der Äquivalenz $x=log_a b \Leftrightarrow a^x=b$ lassen sich einfache Logarithmen bestimmen:

''Beispiele''

* $\log_5 125=\log_5 5^3 =3 \ \ \ \ \ \ \ \ $    weil $5^3=125 $
* $\log_2 16 = log_2 2^4 = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $   weil $2^4=16 $
* $\log_3 \frac{1}{9}= \log_3 9^{-1}=\log_3 (3^2)^{-1}=\log_3 3^{-2}=-2\ \ \ \ \ \ \ \ $        weil $3^{-2}=\frac{1}{9} $
* $\log_{16} 4 = \log_{16} \sqrt{16}=\log_{16} 16^{\frac{1}{2} }=\frac{1}{2}\ \ \ \ \  \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $   weil $16^{\frac{1}{2} }=4 $

==Zwei besondere Basen==
Besonders zwei Basen spielen bei der Berechnung mit Technogie eine große Rolle:

===$\lg$ - Logarithmus zur Basis 10===
Der ''Logarithmus generalis'' (kurz $\lg$) ist der Logarithmus zur Basis 10. Im Taschenrechner ist dies die Taste $[LOG]$.$$lg=\log_{10}=[LOG]$$

{| align=right
|
<gallery heights=150px widths=200px>
lg mit GeoGebra.png|Berechnung des Zehnerlogarithmus mit GeoGebra
lg mit Ti.png|Berechnung des Zehnerlogarithmus mit dem Ti
</gallery>
|}
'''Beispiele:'''

* $\lg(10)$    

* $\lg(1000)=3$

* $\lg(0.01)=-2$

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===$\ln$ - Logarithmus zur Basis $e$===
Der ''Logarithmus naturalis'' (=natürlicher Logarithmus, kurz $\ln$) ist der Logarithmus zur Basis $e$, wobei $e=2.718...$ die berühmte [[Eulersche Zahl e|Eulersche Zahl]] ist. Im Taschenrechner findet sich die $[Ln]$-Taste direkt unter der Taste für den Zehnerlogarithmus $[LOG]$.
$$\ln=\log_e=Ln$$



{| align=right
|
<gallery heights=150px widths=200px>
ln mit GeoGebra.png|Berechnung des natürlichen Logarithmus mit GeoGebra
ln mit Ti.png|Berechnung des natürlichen Logarithmus mit dem Ti
</gallery>
|}
'''Beispiele:'''

* $\ln(e)=1$    

* $\ln1000)=6.91$

* $\ln(0.01)=-4.61$
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==Rechengregeln des Logarithmus==
Mithilfe der [[Potenzen (2.2.)|Rechenregeln für Potenzen]] kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:

{| class="wikitable"
|-
! Regel!! Formal!! Begründung und Beispiel 
|-
| 1. "Hoch 1-Regel"|| $$\log_a a=1$$|| style="text-align:center;" | weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$
|-
| 2. "Hoch 0"-Regel|| $$\log_a 1=0$$ || style="text-align:center;" | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$
|-
| 3. Produktregel|| $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$|| style="text-align:center;"| $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ 
|-
| 4. Quotientenregel|| $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$|| style="text-align:center;"|$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
|-
| 5. Exponentenregel|| $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$|| style="text-align:center;"| $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$ 
|-
| 6. "Negativ-Regel"|| $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$|| style="text-align:center;"| Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern!
|-
| 7. Umrechnung im Taschenrechner || $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$|| style="text-align:center;"| Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:
$$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$
|}


== Musterbeispiele ==
{{Vorlage:Merke|1= '''Hinweis'''
# Bei den folgenden Beispielen ist es egal, mit welcher Basis gerechnet wird, da die obigen Regeln für alle Basen $a>0$ gelten.
# Bei den folgenden Umformen gehen wir "''von außen nach innen''", d.h. wir formen zuerst jene Rechenoperationen um, die sich auf den ganzen Term im Logarithmus bezieht.}}

Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$\ln\left(a^3\cdot b\right)$$|2= $$\ln\left(a^3\cdot b\right)\underbrace{=}_{3.Regel} \ln(a^3)+ \ln(b)\underbrace{=}_{5.Regel} 3\cdot \ln(a)+\ln(b)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)$$
|2= $\begin{align}
\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)&\underbrace{=}_{4.}& \lg(a^5\cdot b^\frac{1}{3} )-\lg(c^2)\\
&  \underbrace{=}_{3.}& \lg(a^5)+lg( b^\frac{1}{3} )-lg(c^2)\\
&  \underbrace{=}_{5}& 5\cdot \lg(a)+\frac{1}{3}\cdot \lg(b)-2\cdot \lg(c)
\end{align}$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)}$$|2= 
$\begin{align}
\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right) } &\underbrace{=}_{umformen}& \lg \left(\frac{(a-b)\cdot (a+b)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)^{\frac{1}{5} }\\
&\underbrace{=}_{5.+kürzen}& \frac{1}{5}\lg \left(\frac{(a-b)\cdot c^3}{10^{-3} } \right)\\
&\underbrace{=}_{4.}& \frac{1}{5}\left[ \lg\left((a-b)\cdot c^3\right)-\lg(10^{-3})\right]\\
&\underbrace{=}_{3.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ \lg c^3-\lg(10^{-3})\right]\\
&\underbrace{=}_{ 5.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ 3\cdot\lg c-(-3)\cdot\lg(10)\right]\\
&\underbrace{=}_{\lg(10)=1} & \frac{1}{5}\lg(a-b)+\frac{3}{5}\cdot \lg(c)+\frac{3}{5}
\end{align}$

}}

== Gleichungen mithilfe des Logarithmus lösen ==
Für Anwendungsbeispiele ist vor allem die [[Der_Logarithmus_(2.3.)#Rechengregeln_des_Logarithmus|5. Regel]] von Bedeutung, da sie es uns erlaubt, Gleichungen zu lösen, indenen die Variable im Exponenten steht.




{{Vorlage:Beispiel|1=
$$5^x=13$$
Bestimme den Wert von x!
|2=
Allein durch einfaches abschätzen wissen wir schon, dass x zwischen 1 und 2 liegen muss (da $5^1=5$ und $5^2=25$). Den genauen Wert können wir aber erst mit dem Logarithmus bestimmen. 
$$5^x=13 \ \ \vert \lg(\ )$$
$$\lg(5^x)=\lg(13)\ \ \vert 5.\ Regel$$
$$x\cdot \lg(5)=\lg(13)\ \ \vert :\lg(5)$$
$$x=\frac{\lg(13)}{\lg(5)}=1.59$$
}}


{{Vorlage:Merke|1=
* Wende den Logarithmus erst so spät wie möglich an! So gehst du den häufigsten Fehlern aus dem Weg!
* Es ist egal, ob du $\ln$ (Logarithmus zur Basis $e$) oder $\lg$ (Logarithmus zur Basis 10) verwendest. Wichtig ist nur, dass du in einer Rechnung die Basis nicht mischt. 
* Rechentechnisch es es ratsam $\ln$ zu verwenden, wenn die $e$ als Basis vorkommt und $\lg$ zu verwenden, wenn 10 als Basis vorkommt. Die Begründung liegt in Regel 1: $\lg(10)=\ln(e)=1$ }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme x: 
$$2^{x+3}=16$$ 
|2= 
$$2^{x+3}=16\ \ \ \  \vert \lg $$ 
$$(x+3)\cdot \lg 2= lg 16 \vert \ \ \ \ :\lg 2$$
$$ x+3=\frac{lg 16}{lg 2}\ \ \ \vert -3$$
$$x=\frac{lg 16}{lg 2}-3$$
$$x=1$$
Selbstverständlich hätte man auch schon zu Beginn sehen können, dass x=1 eine Lösung der Gleichung $2^{x+3}=16$, weil $2^4=16$ ist. }}


{{Vorlage:Beispiel|1=$$N_t=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$
Stelle $t$ frei!
|2=
$\begin{align}
N_t=&N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}& \vert :N_0\\
\frac{N_t}{N_0}=&e^{\lambda\cdot t}& \vert  \ln(\ )\\
\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\ln\left(e^{\lambda\cdot t}\right)& \vert 5.\ Regel\\
\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&(\lambda\cdot t)\cdot \ln(e)&  \vert \ln(e)=1\\
\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\lambda\cdot t  & \vert :\lambda \\
\frac{\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) }{\lambda}=&t&

\end{align}$

}}

== Zusammenfassung ==

{{Vorlage:Video|1=P2YUPkljpOE}}

== weitere Materialien ==
* [http://brinkmann-du.de/mathe/gost/logarithmen_01.htm Inforamtionen auf Brinkmann-du.de]
* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/logarithmen_ueb.htm Übungen von Jutta Gut]


== Beispiele ==
kommt bald