Quelltext der Seite Potenzen (2.2.)

== Definition ==
Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:

[[Datei:Graphik Potenz.png|thumb|center|Aufbau einer Potenz]]



Beispiele:
* $2^3$
* $5^x$
* $x^{-2}$
* $c^{b+a}$

Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R}$]].

== Rechnen mit Potenzen ==
Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ berechnen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:


=== 1. Potenzregel ===
{{Vorlage:Merke|1='''1. Regel der Potenzrechnung'''
$$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$
Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''multipliziert''', indem man die '''Exponenten addiert'''. 
}}
{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
|2= $$x^n\cdot x^m=\left(\underbrace{x\cdot x\cdot . . . \cdot x}_{n-mal}\right)\cdot \left(\underbrace{x\cdot x\cdot . . . \cdot x}_{m-mal}\right)$$

$$=\underbrace{x\cdot x\cdot . . . \cdot x\cdot x\cdot . . . \cdot  x}_{n+m-mal}=x^{n+m}$$
}}



Musterbeispiele: Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$x^3\cdot x^2=$$
|2= $$x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$2^4\cdot 2^3\cdot b^2$$
|2=
$$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$$
!Achtung! Weiter kannst du diesen [[Term]] nicht zusammenfassen, da 2 und b unterschiedliche Basen sind}}




=== 2. Potenzregel ===
{{Vorlage:Merke|1='''2. Regel der Potenzrechnung'''
$$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$
Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''dividiert''', indem man die '''Exponenten subtrahiert'''. 
}}


Musterbeispiele: Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac{x^3}{x^2}=$$
|2= $$\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$$
|2=
$$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=2^{4+3-5}=2^2=4$$
}}





=== 3. Potenzregel ===
{{Vorlage:Merke|1='''3. Regel der Potenzrechnung'''
$$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$$
Potenzen werden '''potenziert''' ("''hoch-genommen''"), indem man die '''Exponenten multipliziert'''. 
}}


Musterbeispiele: Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$\left(x^3\right)^2=$$
|2= $$\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$\left(x^{-3}\right)^2=$$
|2=
$$\left(x^{-3}\right)^2=x^{-6}$$
}}




=== 4. Potenzregel ===
{{Vorlage:Merke|1='''4. Regel der Potenzrechnung'''
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}  \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$$
Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den [[Kehrwert]] bildet oder ''verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten''. 
}}


Musterbeispiele: Wende die ersten 4 Regel der Potenzrechnung an:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac{x^2}{x^{-3} }=$$
|2= $$\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{4.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$$
|2=
$$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=\frac{x^2\cdot x^3\cdot y^2\cdot y^{-1}\cdot y^3}{1}=x^5\cdot y^4$$
Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 4) und dann Regel 1 zu verwenden. 
}}






=== 5. Potenzregel ===
{{Vorlage:Merke|1='''5. Regel der Potenzrechnung'''
$$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$$
Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a ungleich 0 ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Null_hoch_Null Informationen zu $0^0$ findest du hier].  
}}


Musterbeispiele: Wende die 5. Regel der Potenzrechnung an:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$x^0=$$
|2= $$x^0=1$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$12341234^0=$$
|2=
$$12341234^0=1$$
}}








=== 6. Potenzregel ===
{{Vorlage:Merke|1='''6. Regel der Potenzrechnung'''
$$\left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}  \ und\ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$
Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''hoch-nimmt'')  
}}


Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$(x\cdot y)^3$$
|2= $$(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$(x^2\cdot y^3)^{-4}$$
|2= $$(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$$ }}



{{Vorlage:Beispiel|1= $$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)$$
|2= $$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$$
Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der [[Brüche |Bruchrechnung]] dividiert wird, indem mit dem [[Kehrwert]] multipliziert wird:
$$=\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$$ 
Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an:
$$\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $$
$$\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$$
}}


=== 7. Potenzregel ===
{{Vorlage:Merke|1='''7. Regel der Potenzrechnung'''
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$$
Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
}}


Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
{{Vorlage:Beispiel|1= $$\sqrt[3]{5}=$$
|2= $$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$\sqrt[3]{5^{12} }=$$
|2= $$\sqrt[3]{5^{12} }=5^{\frac{12}{3} }=5^{4}=625$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= $$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$$
|2= $$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=  \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }=        2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$$}}