Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen

• W1 und W2: beschränkte Modelle
• W1 und W2: logistisches Modell
• W1- und W2-Matura-Aufgaben

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!

• Abkühlung eines Tees
• Erwärmung von Schokoladeneis
• Absatzmenge des neuen Videospiels "GTA6"
• Followeranzahl eines neuen Social-Media-Accounts deiner Schule

Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme

Funktionsgleichung

In der Formelsammlung findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum und die beschränkte Abnahme, die sogenannten exponentielle Annäherungen: Die untersuchte Größe nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

Definition

Es gilt: $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen) $0<a<1$ $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ Das beschränkte Wachstum wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $b=S-N_0$. Die beschränkte Abnahme wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. $S$ nennt man "Schranke" und es gilt $b=\vert S-N_0 \vert $.

WH: Betrag einer Zahl $|x|$

• Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
• Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
• Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der Abstand der Zahl $x$ zu $0$ auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
• z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$

Graph

beschränkte Zunahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Speiseeis (2) b)

beschränkte Abnahme, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Trinkflaschen c)

Aufgabe: Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst.

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link .

Merke

$N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.

WH: Asymptote

Eine Asymptote einer reellen Funktion $f$ ist eine Gerade, an die sich der Graph von $f$ beliebig nähert ohne sie je zu berühren.

Aufgabe: Versuche es selbst in GeoGebra:

1. Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
2. Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
3. Gib im CAS-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion) ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
4. Gib im Algebra-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert) ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.

- Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!

Übungsbeispiel: Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert.

Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$).

Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.

Lösung:

Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist,

z.B. $a=0,3$:
$0,3^1=0,3 $
$0,3^2=0,09$
$0,3^5=0,00243 $
$0,3^{10}=0,0000059049$
usw.

Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$

Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert

Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Weltbevölkerung c1)

Die Vereinten Nationen veröffentlichen Daten und Prognosen zur Entwicklung der Weltbevölkerung.

Die Fertilitätsrate (Anzahl der Lebendgeburten pro Frau) ist seit 1970 weltweit gesunken und lässt sich näherungsweise durch die Funktion $f$ beschreiben.

$f(t)=2+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1970
$f(t)$... Fertilitätsrate zur Zeit $t$
$b, \lambda $... positive Parameter

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Fertilitätsrate gemäß diesem Modell für $t → ∞$ dem Wert $2$ beliebig nahe kommt.

Lösung:

Für $t → ∞$ geht $e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$, damit geht auch $b\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ gegen $0$ und $f(t)$ geht gegen $2$.

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Videoplattform c1)

Die sogenannte Zuschauerbindung gibt an, wie viel Prozent der Zuschauerinnen und Zuschauer nach einer bestimmten Abspielzeit ein Video weiterhin schauen. Die Zuschauerbindung für ein bestimmtes Video in Abhängigkeit von der Abspielzeit kann näherungsweise durch die Funktion $Z$ beschrieben werden.
$Z(t)=42+58\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
$t$... Abspielzeit des Videos in s
$Z(t)$... Zuschauerbindung bei der Abspielzeit $t$ in %
$\lambda$... positiver Parameter

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion $Z$ dargestellt.

Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehen Kästchen ein.

Lösung:

+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Weltbevölkerung* c1)
  Begründung zur Asymptote
• Videoplattform* c1)
  Anfangswert und Schranke einzeichnen
• Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)
  zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren
• Küchengerät* a1)
  zum Anfangswert argumentieren
• Trinkflaschen* c2)
  Anfangswert angeben

Funktionsgleichung aufstellen

Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: Wiederholung

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

Merke

Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.

Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung

Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Thermometer b)

Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an.
Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion $g$ beschrieben werden.

$g(t)=c-a\cdot e^{-0,275\cdot t} $
$t$... Zeit nach Beginn der Messung in s
$g(t)$... angezeigte Temperatur zur Zeit $t$ in °C

1) Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter $a$ und $c$.
2) Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$.

Lösung:

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Videoplattform* a1)
  ein Parameter ermitteln
• Online-Shopping* b1)
  ein Parameter ermitteln
• Küchengerät* a2)
  ein Parameter ermitteln
• Thermometer* b)
  zwei Parameter ermitteln
• Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)
  zwei Parameter ermitteln

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!

• Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
• Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
• Entwicklung der Weltbevölkerung
• Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
• Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App

logistisches Wachstum

Funktionsgleichung

In der Formelsammlung findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das logistische Wachstum. Die untersuchte Größe wächst in ihrer Anfangsphase wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum, allerdings verlangsamt sich das Wachstum im weiteren Verlauf und nähert sich im Laufe der Zeit einem bestimmten konstanten Wert immer näher an.

Definition

Es gilt: $S, a, \lambda \in \R^+ $ ($S, a, \lambda$ sind positive, reelle Zahlen) $0<a<1$ $N_0>0$ (der Anfangswert ist eine positive Zahl) $t$...Zeit, $N(t)$... Änderungsgröße und $N_0$...Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ Das logistische Wachstum wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot a^t} }$ oder $\boldsymbol{N(t)=\frac{S}{1+c\cdot e^{-\lambda \cdot t} } } $ beschrieben. $S$ nennt man "Schranke", "Sättigungswert" oder "Kapazitätsgrenze" und es gilt $c=\frac{S-N_0}{N_0}$.

Matura-Beispiele zum Rechnen

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Videoplattform* b2)
  
• Kraftfahrzeug-Bestand* b1)
  
• E-Reader* c2)
  

Graph

Der Funktionsgraph verläuft anfangs zuerst wie ein unbegrenztes exponentielles Wachstum bis sich in weiterer Folge das Wachstum verlangsamt und sich die untersuchte Größe einem bestimmten konstanten Wert immer näher annähert.

logistisches Wachstum, Funktionsgleichung aus dem Matura-Bsp. Videoplattform b)

Merke

$N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$.

Matura-Beispiele zur Schranke

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Kraftfahrzeug-Bestand* b2)
  
• Schilf* c1)
  
• E-Reader* c1)
  

Funktionsgleichung aufstellen

Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: Wiederholung

Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke,...).

Merke

Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie sofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird.

Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Streaming* c2)

Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)

Eigenständige Suche im Aufgabenpool

Öffne die Seite des Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP).

Mit dem Deskriptor B_W_3.5 kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.

Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?

Zudem kannst du mit dem Schlagwort Exponentialgleichungen nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.

Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?

Spezifische Aufgaben

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Videoplattform* a) :
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen
• Videoplattform* b2)
  mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen
• Videoplattform* c)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen
• Schilf* c)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen
• Kraftfahrzeug-Bestand* b)
  mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen
• Online-Shopping* b1)
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Trinkflaschen* c2)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen
• Küchengerät a1)+a2)
  mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Thermometer* b)
  Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen
• Öffentlicher Verkehr in Wien* b)
  mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren
• Pilze* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
• Grafikkarte* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen
• Thermosflasche* b)
  Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen
• Speiseeis (2)* b)
  mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen