Wachstums- und Zerfallsprozesse - Modelle mit Grenzen
Beschränktes Wachstum und beschränkte Abnahme
Funktionsgleichung
In der Formelsammlung findet man unter "Wachstums- und Abnahmeprozesse" das beschränkte Wachstum.
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Es gilt:
Das beschränkte Wachstum wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S-b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. Die beschränkte Abnahme wird durch Funktionen der Form $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot a^t }$ oder $\boldsymbol{N(t)=S+b\cdot e^{-\lambda \cdot t} } $ beschrieben. |
- Der Betrag macht jede Zahl $x \in \R$ positiv.
- Den Betrag einer Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen weglässt.
- Grafisch interpretiert ist der Betrag einer Zahl $|x|$ der Abstand der Zahl $x$ zu $0$ auf der Zahlengerade. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gilt immer $|x|≥0$.
- z.B. $|5|=5$ und $|-5|=5$
Graph
Aufgabe: Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Parameter $S, b$ und $a$. Halte schriftlich fest, wie sich der Graph verändert, wenn du die einzelnen Schieberegler betätigst.
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke auf diesen Link .
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$N(t)$ (der $y$-Wert) nähert sich mit zunehmender Zeit $t$ dem Wert $S$ immer mehr an. D.h. der Graph erreicht nie die Sättigungsgrenze, sondern kommt dieser nur unendlich nahe. Damit ist die Schranke $S$ mit $y=S$ eine Asymptote der Funktion $N(t)$. |
WH: Asymptote
Aufgabe: Versuche es selbst in GeoGebra:
- Gib die Funktionsgleichung der beschränkten Abnahme $N(t)=20+77\cdot 0,93^t $ sowie die Geradengleichung $S(t)=20$ im Algebra-Fenster ein.
- Schaut es aus, als ob sich die Graphen berühren bzw. schneiden? Dann zoome dort weiter hinein und du wirst sehen, dass immer ein (winziger) Abstand zwischen den Graphen liegt.
- Gib im CAS-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion) ein und setze $N$ und $S$ ein. GeoGebra gibt dir $\{ \}$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
- Gib im Algebra-Fenster den Befehl Schnittpunkt( Funktion, Funktion, Startwert, Endwert) ein und setze $N$, $S$ sowie $0$ als Startwert und eine beliebige, sehr große Zahl wie z.B. $100000000000000000$ ein. GeoGebra gibt dir $?$ aus, was bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
- - Achtung: Der Befehl ohne den Start- und Endwert ist im Algebra-Fenster fehlerhaft!
Übungsbeispiel: Begründung, warum sich $N(t)$ der Schranke $S$ beliebig nähert.
Gegeben ist ein beschränktes Wachstum mit der Funktionsgleichung $N(t)=S-b\cdot a^t$, wobei $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist ($0<a<1$).
Argumentiere mathematisch, dass die Funktionswerte $N(t)$ für $t\rightarrow \infty $ dem Wert $S$ beliebig nahe kommt.
Lösung:
Wird $t$ immer größer, wird $a^t$ immer kleiner und nähert sich bei "unendlich großen" Werten für $t$ unendlich nah an 0 an. Dies gilt, weil $a$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist,
z.B. $a=0,3$:
$0,3^1=0,3 $
$0,3^2=0,09$
$0,3^5=0,00243 $
$0,3^{10}=0,0000059049$
usw.
Für $t\rightarrow \infty $ gilt $a^t≈\color{blue}{0}$. Daher ist $b\cdot a^t≈b\cdot \color{blue}{0}=0$ und $N(t)=S-b\cdot a^t≈S-b\cdot \color{blue}{0}=S-\color{blue}{0}=S$
Matura-Beispiele zur Schranke und zum Anfangswert
Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Weltbevölkerung c1)
Angabe
Lösung:
+ GG-Screenshot + Video?
Quelle:
Übungsbeispiel: Matura-Beispiel Videoplattform c1)
Angabe
Lösung:
+ Video zu den zwei Wegen: N(0) berechnen oder in CAS mit b=|S-N_0|
Quelle:
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
- Weltbevölkerung* c1)
Begründung zur Asymptote - Videoplattform* c1)
Anfangswert und Schranke einzeichnen - Öffentlicher Verkehr in Wien b1) + b3)
zum Anfangswert argumentieren, Schranke interpretieren - Küchengerät* a1)
zum Anfangswert argumentieren - Trinkflaschen* c2)
Anfangswert angeben
Funktionsgleichung aufstellen
Möchtest du die Funktionsgleichung eines beschränkten Modells aufstellen, gehst du wie immer vor: Wiederholung
Für $S, b$ und $a$ bzw. $S, b$ und $\lambda$ benötigst du drei Infos (z.B. Anfangswert, Änderungsfaktor, Punkte, Kapazitätsgrenze/Schranke).
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Ist die Schranke $S$ direkt gegeben, musst du sie dofort in die Funktionsgleichung einsetzen! Du kannst keine Gleichung der Form $N(t)=S$ aufstellen, da die Schranke nie erreicht wird. |
Matura-Beispiele zum Aufstellen der Funktionsgleichung
Übungsbeispiel: Matura-Beispiel xy c1)
Angabe
Lösung:
+ GG-Screenshot + Video?
Quelle:
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
- Videoplattform* a1)
ein Parameter ermitteln - Online-Shopping* b1)
ein Parameter ermitteln - Küchengerät* a2)
ein Parameter ermitteln - Thermometer* b)
zwei Parameter ermitteln - Kfz-Bestand (1)* c1) + c2)
zwei Parameter ermitteln
Inhaltsverzeichnis
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)
Aufgabe: Warum eignet sich die Exponentialfunktion für folgende Situationen nicht? Mache dir Notizen und skizziere jeweils einen möglichen Graphen!
- Anzahl der gekauften E-Autos in Österreich
- Verbreitung eines Gerüchts an deiner Schule
- Entwicklung der Weltbevölkerung
- Ausbreitung einer Bakterienkultur in einer Petrischale
- Nutzerzahl einer neuen Social-Media-App
logistisches Wachstum
Funktionsgleichung
asdf
Graph
asdf
Matura-Beispiele zur Schranke
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
Funktionsgleichung aufstellen
asdf
Schulformspezifische Kompetenzen: W1 (HLFS/HUM) und W2 (HAK)
Eigenständige Suche im Aufgabenpool
Öffne die Seite des Aufgabenpools - Angewandte Mathematik (BHS-BRP).
Mit dem Deskriptor B_W_3.5 kannst du ganz leicht selbst alle Aufgaben der Zentralmatura einsehen, bei denen es um Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (insb. beschränkte und logistische Modelle) geht. Dabei muss man u.a. Funktionsgleichungen aufstellen bzw. Parameter berechnen, mit der Funktionsgleichung Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren oder im Kontext argumentieren.
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
Zudem kannst du mit dem Schlagwort Exponentialgleichungen nach weiteren Aufgaben suchen, bei denen zum Teil auch eine Funktion von beschränkten sowie logistischen Modellen verwendet wird. Achte darauf, dass du beim Aufgabentyp nur "Prüfungsaufgabe*", "Typ-A", "Typ-B (W1 HLFS/HUM)" und "Typ-B (W2 HAK)" aktiviert hast.
Wie schaut dies im Aufgabenpool aus?
Spezifische Aufgaben
Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.
- Videoplattform* a) :
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen und damit eine Berechnung durchführen - Videoplattform* b2)
mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen - Videoplattform* c)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls hinsichtlich des Graphen kennen - Schilf* c)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums kennen - Kraftfahrzeug-Bestand* b)
mit der Funktionsgleichung eines logistischen Wachstums eine Berechnung durchführen und Eigenschaften der Funktionsgleichung kennen - Online-Shopping* b1)
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen - Trinkflaschen* c2)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls eine Berechnung durchführen - Küchengerät a1)+a2)
mathematisch argumentieren und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen - Thermometer* b)
Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen - Öffentlicher Verkehr in Wien* b)
mathematisch erklären/Berechnung durchführen, Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums berechnen, Parameter im Kontext interpretieren - Pilze* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen - Grafikkarte* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums eine Berechnung durchführen - Thermosflasche* b)
Eigenschaften der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls kennen kennen und Parameter der Funktionsgleichung eines beschränkten Zerfalls berechnen - Speiseeis (2)* b)
mit der Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums Berechnungen durchführen
