Äquivalenzumformungen

Definition

Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben.

Merke

Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich angewendet werden:

Folgende Gleichung ist gegeben: $4x-5=2x-8$
Äquivalente Gleichungen:
Seitentausch: $2x-8=4x-5$

Subtraktion von 2x ergibt: $-8=2x-5$

Addition von 5 ergibt: $-3=2x$

Division durch 2 ergibt: $-1.5=x$

Merke

Die Wurzel kann auch als Äquivalenzumformung verwendet werden, wenn eine Fallunterscheidung gemacht wird.

Ursprungsgleichung: $(\rm{linker\ Term})^2=(\rm{rechter\ Term})^2$

Fallunterscheidung: $\rm{linker\ Term}=+(\rm{rechter\ Term})$ oder $\rm{linker\ Term}=-(\rm{rechter\ Term})$

Kurz: $\rm{linker\ Term}=\pm (\rm{rechter\ Term})$

Angabe

Lösung

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