Vektorrechnung

Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung

Koordinatensystem

Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell. Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

• die x-Achse (waagrecht) und
• die y-Achse (senkrecht)

Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt: An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

Punkte

In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

Punkte im $\mathbb{R^2}$

Merke

Einen allgemeinen Punkt schreibt man an als $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) oder $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$). Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate. Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

• A(2/0)
• B(0/-2)
• C(-1/2)

Vektoren

Definition

Definition

Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als Vektor aus $\mathbb{R^2}$ bezeichnet. Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als Vektor aus $\mathbb{R^3}$ . Ein allgemeiner Vektor wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

Geometrische Darstellung von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:

• Darstellung als Punkt: Dabei gibt a die x-Koordinate und b die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
• Darstellung als Pfeil: Dabei gibt a die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und b die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt! Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Beispiel: Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

Punktdarstellung des Vektors	Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors

Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.

Anmerkungen:

• Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
• Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

Ortsvektoren

Punkt und zugehöriger Ortsvektor

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.

Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!

$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$

$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ $\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$

Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft

"Spitze minus Schaft"

Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die "Spitze minus Schaft"-Regel
Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

• Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
• Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren:

1. $\vec{AB}$
2. $\vec{BA}$
3. $\vec{AC}$
4. $\vec{BC}$

# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$

1. $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
2. $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
3. $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -7 \\ -2\end{array} \right)$

Tipps:

• Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
• Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit "$ und einmal mit $-5$!

" \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$ $(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$

(Quelle dieses Applets)

Wie Vektoren zueinander stehen

Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile. Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!

Merke

2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. Man sagt auch: Die Vektoren sind linear abhängig (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge	none>250px"|	$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung	none>250px"|	$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung	none>250px"|	$\exists kz.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$ |- ||linear unabhängig | class="bs-ve-image" style="margin: 0.5em 0px 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 250px;" data-bs-imagename="Datei:Vektorrichtung1.png" data-bs-thumb="false" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="false" data-bs-align="" data-bs-none="true" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="250" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|none>250px"|  ||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ ||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ |} [[Datei:Bsp.png|left]] für linear unabhängige Vektoren: Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$. Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander. Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten: $I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$ $II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$ Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind. ===Betrag und Einheitsvektor=== [[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet: $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist. Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen: $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-3-QINUcos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-4-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-5-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-6-QINU\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-7-QINUg: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-8-QINUg : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-9-QINUg: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_PUNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-10-QINU\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-11-QINU\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-12-QINU\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-13-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_bUNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-14-QINU\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-15-QINUcos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-16-QINUg: X = P + t \cdot \vec{a}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-17-QINUg : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-18-QINUg : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-19-QINU+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-20-QINU- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-21-QINUg : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-22-QINU\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel hUNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-23-QINU\begin{align} I: \ &&&s&=&2&+&t \\ II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\ III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t \end{align}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-24-QINU\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel hUNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-25-QINU\begin{align} I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\ II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\ III: \ &&&s&=&1&+&t \end{align}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-26-QINU\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-27-QINU\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-28-QINU\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-29-QINUax + by + cz = dUNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-30-QINU\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_PUNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-31-QINU\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-32-QINU\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-33-QINU\epsilon: 8x - 5y -9z =-6UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-34-QINU\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-35-QINU+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-36-QINU\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\ II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1 \end{align}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-37-QINU4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-38-QINUI: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-39-QINUg: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-40-QINU\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-41-QINUa \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = dUNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-42-QINUg: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-43-QINU1 - t - 6 - 4 -4t =8UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-44-QINU\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-45-QINUh: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-46-QINU\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-47-QINUg_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-48-QINUx - y: x-y = 0UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-49-QINU5x - 2z: 5x - 2z = -12UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-50-QINU\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-51-QINU\begin{align} I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\ III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t \end{align} \ \ \ \rightarrow u=1UNIQ92d77b6e173e6a6f-MathJax-52-QINUg_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ c) $\epsilon: z = 1$ 8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ $h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ =Beispiele= Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen: ===Grundlagen der Vektorrechnung=== [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf] ===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$=== VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf