Potenzen (2.2.)

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Definition

Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:

Aufbau einer Potenz

Beispiele:

• $2^3$
• $5^x$
• $x^{-2}$
• $c^{b+a}$

Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ $\mathbb{R}$.

Rechnen mit Potenzen

Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ berechnen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:

1. Potenzregel

Merke

1. Regel der Potenzrechnung $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.

Beweis für diese Regel

$a^n\cdot a^m=\left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n-mal}\right)\cdot \left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal}\right)$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n+m-mal}=a^{n+m}$

Musterbeispiele: Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:

$x^3\cdot x^2=$

$x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$

!Achtung! Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da 2 und b unterschiedliche Basen sind

2. Potenzregel

Merke

2. Regel der Potenzrechnung $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.

Beweis für diese Regel

Nehmen wir einfachheitshalber an, dass $n>m$ ist:

$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt m Stück a gekürzt werden.}$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$

Musterbeispiele: Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:

$\frac{x^3}{x^2}=$

$\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=2^{4+3-5}=2^2=4$

3. Potenzregel

Merke

3. Regel der Potenzrechnung $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ Potenzen werden potenziert ("hoch-genommen"), indem man die Exponenten multipliziert.

Beweis für diese Regel

$\left(a^n\right)^m = \underbrace{\left(a^n\right) \cdot \left(a^n\right) \cdot . . . \cdot \left(a^n\right)}_{m-mal}$

$\overset{(Regel \ 1)}{=}$ $a^{\overbrace{n+n+. . . +n}^{m-mal} }=a^{n \cdot m}$

Musterbeispiele: Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:

$\left(x^3\right)^2=$

$\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$

$\left(x^{-3}\right)^2=$

$\left(x^{-3}\right)^2=x^{-6}$

4. Potenzregel

Merke

4. Regel der Potenzrechnung $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a ungleich 0 ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere Informationen zu $0^0$ findest du hier.

Beweis für diese Regel

$a^0=a^{n-n} \overset{Regel \ 2}{=} \frac{a^n}{a^n} \overset{kürzen}{=} 1$

Musterbeispiele: Wende die 5. Regel der Potenzrechnung an:

$x^0=$

$x^0=1$

$12341234^0=$

$12341234^0=1$

5. Potenzregel

Merke

5. Regel der Potenzrechnung $a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den Kehrwert bildet oder verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

Beweis für diese Regel

$a^{-n}=a^{0-n} \overset{(Regel \ 2)}{=} \frac{a^0}{a^{n} } \overset{(Regel \ 4)}{=} \frac{1}{a^n} $

Musterbeispiele: Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:

$\frac{x^2}{x^{-3} }=$

$\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{5.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=\frac{x^2\cdot x^3\cdot y^2\cdot y^{-1}\cdot y^{-3} }{1}=x^5\cdot y^{-2}$

Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 5) und dann Regel 1 zu verwenden.

6. Potenzregel

Merke

6. Regel der Potenzrechnung $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ und\ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert (hoch-nimmt)

Beweis für diese Regel

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}_{n-mal}$

$\overset{(Vertauschungsgesetz)}{=} \underbrace{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}_{n-mal} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}_{n-mal}$ $=a^n\cdot b^n$

Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$(x\cdot y)^3$

$(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$

Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der Bruchrechnung dividiert wird, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: $=\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$ Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an: $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $ $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$

7. Potenzregel

Merke

7. Regel der Potenzrechnung $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.

Beweis für diese Regel

Wurzelziehen und Potenzieren sind Umkehroperationen. Daraus folgt:

${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$ Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$ Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.

Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$\sqrt[3]{5}=$

$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$

$\sqrt[3]{5^{12} }=$

$\sqrt[3]{5^{12} }=5^{\frac{12}{3} }=5^{4}=625$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }= \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }= 2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$

Alle Regeln auf einen Blick

1. Regel	$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$	Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
2. Regel	$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$	Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
3. Regel	$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$	Potenzen werden potenziert ("hoch-genommen"), indem man die Exponenten multipliziert.
4. Regel	$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$	Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a $\neq$ 0 ist.
5. Regel	$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$	Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten
6. Regel	$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ und\ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert (hoch-nimmt)
7. Regel	$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$	Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.