Zins- und Zinseszinsrechnung

Zins- und Zinseszinsrechnung > Trigonometrie (2.12 und 3.10) > Zins- und Zinseszinsrechnung > Spezial:Präfixindex/MediaWiki:Action-importupload/ > Zins- und Zinseszinsrechnung

Begriffe

• $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
• $n \dots $ Dauer der Verzinsung
• $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
• $i \dots $ Zinssatz (z.B. 5%)
• $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100}$

Einfache Zinsen

Herleitung der Formel für die einfachen Zinsens

Merke: Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.

Einfaches Beispiel: € 30 Euro werden mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr.

Lösung:

• $K_0 =30 $
• $n = 1 $
• $K_1 = $?
• $i = 5$%

$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$

$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_1 = 30 + 1.5 $$ $$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$

Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.

Merke: Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden bei der einfachen Verzinsung die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.

Beispiel: € 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?

Lösung

• $K_0=30$
• $K_n=$ ?
• $i=5$%
• $n=4$

$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$ $$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$ $$ K_n=30+6$$ $$ \underline{\underline{K_n=36}}$$

Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.

Formel für die einfache Verzinsung
$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i}{100} \cdot K_0 $$ und vereinfacht: $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$