Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung
Inhaltsverzeichnis
Zufallsvariablen
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Das Ergenis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "Zufallsvariable" $X$ beschrieben werden.
Die Zufallsvariable ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.
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Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:
- Die diskrete Zufallsvariable hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen)
- Die stetige Zufallsvariable hat als Wertebereich ein Intervall in den reellen Zahlen einen nicht abzählbaren Wertebereich
Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.
Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$ wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$) |
Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, som müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen: $$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$
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Die Verteilungsfunktion $F$ ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt. |
Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
Hinweise zur Verteilungsfunktion:
- - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.
- - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)
- - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
- - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).
- - Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe oben).
Erwartungswert und Standardabweichung
Im Kapitel Beschreibende Statistik haben wir bereits Begriffe wie die relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung kennen gelernt. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:
| Idee ... | in der Wahrscheinlichkeitsrechung | in der Statistik |
|---|---|---|
| Prozent | Wahrscheinlichkeit $$P(X=x_i)$$ | relative Häufigkeit $$h_i=\frac{H_i}{n}$$ |
| Mittel/Durchschnitt | Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$ $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$ | Arithmetisches Mittel $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$ |
| Streuung/Abweichung vom Mittel | Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$ | Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$ |
Berechnen Sie
a) den Erwartungswert
b) die Standardabweichung
beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt $($d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\})$.
Der Erwartungswert $E(X)=mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir: $$ \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$
Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also 3.5. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht 3.5 Würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interbretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei 3.5 liegen wird.
b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$
Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$): $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\ \sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\ =\underline{\underline{1.71} }$$
Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens
Schau dir folgendes Video eines sogenannten Galtonbretts an:
Die Kugeln fallen bei jedem Hölzchen entweder nach links oder nach rechts. Interessant dabei ist, dass alle Kugeln, die am Ende im selben Behälter landen, gleich oft nach links und nach rechts gefallen sind. z.B.:
- Alle Kugeln, die im den Behälter ganz links landen, sind bei jedem Hölzchen nach links gefallen (da es sehr unwahrscheinlich ist, immer nach links zu fallen, befinden sich hier auch keine Kugeln).
- Alle Kugeln, die in den 2. Behälter von links fallen, müssen einmal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
- Alle Kugeln, die in den 3. Behälter von links fallen, müssen zweimal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
- ...
Die Frage ist nun nur, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei insgesamt $n$ Hölzchen (=Möglichkeiten nach links oder rechts zu fallen) insgesamt $k$-mal nach links und (n-k)-mal nach rechts zu fallen?
Die Antwort ist
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$
wobei
- $n!$ heißt "n-faktorielle" oder "n-Fakultät" und bedeutet: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$ ist (alle Zahlen von 1 bis $n$ multipliziert).
- $\binom{n}{k}$ ist der sogenannte Binomialkoeffizient und gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, bei n Fällen insgesamt k-mal nach links und (n-k)-mal nach rechts zu gehen.
Begründung für diese Formel:
1. Begründung für $n!$:
Nehmen wir an, wir haben 4 Personen und insgesamt 4 Plätze, auf die wir sie setzen können. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, die Personen zu reihen?
Erklärung: Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 18:22)
Antwort: Es gibt $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$ Möglichkeiten 4 Personen auf 4 Plätze zu setzen (für den ersten Platz gibt es 4 mögliche, für den zweiten Platz noch 3, für den dritten Platz noch 2, und für den letzten Platz noch 1).
2. Begründung für $\frac{n!}{(n-k)!}$:
Nehmen wir nun an, wir haben 9 Personen, aber immer noch 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun aus den 9 Personen 4 zufällig auszuwählen und auf die 4 Plätze zu setzen?
Erklärung: Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 26:09)
Antwort: Es gibt $$\frac{9!}{(9-4)!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6$$ Möglichkeiten 4 von 9 Personen auf die Plätze zu setzen.
3. Begründung für $\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$:
Nun überlegen wir uns, wir haben 9 Personen und 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann, die Plätze zu besetzen, wenn uns die Reihenfolge egal ist?
Erklärung: Wir wissen bereits, dass es $\frac{9!}{(9-4)!}$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Zwei dieser Möglichkeiten wären die folgenden:
und
Da uns dieses Mal die Reihenfolge egal ist, gehören beide Bilder zum selben Ergebnis. Genauso gehören alle weiteren Vertauschungen von dieser Ziehung zur selben Kombination. Insgesamt können wir diese Kombination auf $4!$-Möglichkeiten vertauschen. Somit erhalten wir als Gesamtformel: $$\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$ wobei wir mit $\frac{1}{4!}$ alle Variationen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, abziehen.
Zusammenfassend heißt das: Insgesamt gibt es $\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$ möglichkeiten, aus einer Menge von 9 Personen, 4 Leute auszuwählen, ohne dabei die Reihenfolge zu beachten.
Eine verkürzte Schreibweise ist nun der sogenannte Binimialkoeffizient
$$\binom{9}{4}=\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$
der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 Personen auf 4 Plätze zu setzen, wenn die Reihenfolge egal ist.
Allgemein: $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).
Hier noch eine weitere eine Erklärung mit dem Galton-Brett:
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Der Binomialkoeffizient
$$\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!\cdot (n−k)!}$$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Objekten insgesamt $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge). |
Lotto
Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt 6 von 45 Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge, egal.
- Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
- Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-6er: $$P(Lotto-6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 5 der 6 richtigen auszuwählen.
- Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
- Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus 6 Kugeln werden 5 gezogen).
$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5} }{\binom{45}{6} }=\frac{6}{8.145.060}$$
Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung
Definition und Formel
Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes:
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Bernoulli-Experiment
Dies sind Experimente, bei denen es
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Typische Beispiele hierfür wären:
- Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne mit zurücklegen. Die Zuvallsvariable $X$ zählt das auftreten von roten Kugeln.
- Merhmaliges Würfeln mit einem Würfel. Die Zuvallsvariable $X$ zählt das auftreten eines $6er$.
Sie stehen vor einer Urne mit 7 roten und 13 blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4 maligem Ziehen, 3 mal eine rote Kugel zu erhalten?
$$P(X=3)=?$$
- Anzahl der Möglichkeiten: Um von 4 Ziehungen 3 mal eine rote Kugel zu ziehen gibt es $\binom{4}{3}=4$-Möglichkeiten, nämlich:
(r,r,r,b); (r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r).
- Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Versuch ist $p^3\cdot (1-p)^1$ mit $p=\frac{7}{20}$.
- Begründung: Nehmen wir zum Beispiel (r,r,r,b).
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $(1-p)=\frac{13}{20}$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (r,r,r,b) aufgrund der Multiplikationsregel $$p\cdot p\cdot p\cdot q=p^3\cdot (1-p)^1$$ Für die anderen Ausfälle(r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r) kommt man auf dasselbe Resultat. Somit erhalten wir: $$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{\textrm{Anzahl der Fälle} }\cdot \underbrace{p^3\cdot (1-p)^1}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen dieser Fälle} }=4\cdot (\frac{7}{20})^3\cdot \frac{13}{20}= 0.1115=11.15\%$$
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Binomialverteilung und Formel
Es wird ein Bernoulli-Experiment (2 Ereignisse: Erfolg oder Misserfolg) n-mal durchgeführt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ konstant bleibt. Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge. Dann ist $X$ binomialverteilt (kurz: $B(n;p)$) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$ |
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Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$ setzt sich folgendermaßen zusammen:
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Für eine Zufallsvariable $X$, die $B(n;p)-$verteilt ist, gilt:
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Ein Würfel wird 30-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) 8-mal eine 6 zu würfeln?
b) niemals eine 6 zu Würfeln?
c) maximal einmal eine 6 zu würfeln?
d) mindestens zweimal eine 6 zu würfeln.
e) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.
$$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$
a) Gesucht ist $P(X=8)$. Setzen wir das in die Formel ein, so erhalten wir:
$$P(X=8)=\binom{30}{8}\cdot (\frac{1}{6})^8\cdot (\frac{5}{6})^{30-8}=0.0632=6.32\% $$
b) Gesucht ist $P(X=0)$, dies kann entweder einfach über die Multiplikationsregel $(P(X=0)=(\frac{5}{6})^30)$ berechnet werden, oder mit der Formel für die Binomialverteílung: $$P(X=k)=\binom{30}{0}\cdot (\frac{1}{6})^0\cdot (\frac{5}{6})^{30-0}=0.0042=0.42\% $$
c) Gesucht ist $P(X\leq 1)$: $$P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=\underbrace{0.0042}_{P(X=0)}+\underbrace{\binom{30}{1}\cdot (\frac{1}{6})^1\cdot (\frac{5}{6})^{30-1} }_{P(X=1)}=0.0042+0.0253=0.0295=2.95\% $$
d) Betrachten wir die obige Abbildung von Aufgabe c). Dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine 6 zu ziehen $(P(X>=2))$gerade die weiß eingefärbte Fläche.
Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir:
$$P(X>=2)=1-P(X<=1)=1-0.0295=0.9705=97.05\% $$
e)
- $E(x)=n\cdot p=30\cdot \frac{1}{6}=5$ (dies kann man auch aus den obigen Graphen herauslesen!)
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{30\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} }=\sqrt{\frac{25}{6} }\approx 2.04$.
Typischer Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion
