Gleichungssysteme (2.7.)

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Definition

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen. Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$

• Gleichungssysteme mit 2 Variablen
• Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen

Beispiel: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$ Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 linear unabhängige Gleichungen.

Lösungsmenge $\mathbb{L}$

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.

Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $$ I: x+y=35 $$ $$ II: 2x+4y=94 $$

Begründung: Setze den Punkt $(23\vert 12)$ ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:

$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94

=94 \textrm{ wahre Aussage} $$}}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)

Methode:

1. Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
2. Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
3. Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
4. Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten. Löse die Gleichung mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.

Beispiel:

1. Schritt:Umformen auf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align} x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\ 4x&+&2y&=&94& \end{align}$

3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align} -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\ 4x&+&2y&=&94& \\ \end{align}$

4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten: $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$ Damit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ $= \{ (12|23) \} $

Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)

Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren)

Graphisches Verfahren

Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82)

Verfahren mit GeoGebra-CAS

Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.