Trigonometrie (2.12 und 3.10)

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In der Tri

Begriffe

rechtwinkliges Dreieck

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:

• die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
• die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.

Sinus, Cosinus und Tangens

[Schau dieses Arbeitsblatt an]. Hierbei lernst du die Bedeutung von Sinus, Cosinus und Tangens.

Definition

Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $sin \alpha = \frac{GK}{H}$ Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $cos \alpha = \frac{AK}{H}$ Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als: $tan \alpha = \frac{GK}{AK}$

Wichtig! Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck!

Weitere wichtige Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck

allgemeines Dreieck

	rechtwinkliges Dreieck	allgemeines Dreieck
Winkelsumme	$180°=\alpha+\beta+\gamma$	$180°=\alpha+\beta+\gamma$
Pythagoras	$H^2=GK^2+AK^2$	gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
Flächeninhalt	$A=\frac{GK\cdot AK}{2}$	$A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
Sinussatz		$\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
Cosinussatz		$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$ $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$ $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$