Direkte und indirekte Proportionalität
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Eine direkt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit einer homogenen lineare Funktion der Form $y=k\cdot x$ mit $k \ \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. |
Wichtige Eigenschaften
- Wird x verdoppelt, so verdoppelt sich auch y.
- Wird x halbiert, so halbiert sich auch y.
Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg (330 km) werden 29,4 Liter Benzin verbraucht.
- Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht.
- Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien (640 km) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind?
- Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt.
- Für 100 km, benötigt das Fahrzeug $x=29,4\cdot \frac{100}{330}= 8,9 Liter$
Für 640 km benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29,4\cdot \frac{640}{330}= 57 Liter$
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Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion $y=\frac{c}{a}$ mit $c\in \mathbb{R}$ beschrieben werden. |
Wichtige Eigenschaften
- Wird x verdoppelt, so halbiert sich y.
- Wird x halbiert, so verdoppelt sich y.
- Multipliziert man die Werte x und y so ergibt sich immer der gleiche Wert k.
Beispiele
4 Maurer verputzen eine Hausfassade und benötigen dafür 5 Tage. Da aber für die nächsten Tage Regen angesetzt ist, setzte der Bauleiter insgesamt 10 Arbeiter ein. Man nimmt an, dass jeder Maurer in gleicher Zeit gleich viel Arbeit verrichtet.
- Begründe, warum hier eine indirekte Proportion vorliegt!
- Berechne, wie lange die 10 Arbeiter für die Arbeit benötigen!
- Wenn für die Erledigung der Arbeit doppelt so viele Maurer zur Verfügung stehen, benötigen die Maurer die halbe Zeit.
- 4 Maurer benötigen 5 Tage, also benötigt 1 Maurer $4 \cdot 5=20$ Tage. 10 Maurer brauchen dann $20 : 10 =2$ Tage für diese Arbeit.
Ein Vorrat an Heizöl reicht 12 Stunden, wenn der Verbrauch 0,65 Liter pro Stunde beträgt.
Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur 0,2 l pro Stunde verbraucht!
Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von 0,65 l/h 12 Stunden hält, sind insgesamt $12\cdot 0,65=7,8$ Liter Öl im Tank.
Wenn der Ofen auf 0,2 l/h gedrosselt wird, hält der Tank $7,8:0,2=39$ Stunden lang.
Der Ofen kann also 27 Stunden länger in Betrieb bleiben.
- Beleuchtungsstärke (bifie-Aufgabe:schwer-mittel-schwer)
- Siehe auch: Differenzen- und Differentialquotient
