Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

Zufallsvariablen

Definition

Das Ergenis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "Zufallsvariable" $X$ beschrieben werden. Die Zufallsvariable ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu. Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zufällig annehmen (d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$Wertebereich von $X$). Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl 6 annimmt ist: $$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$

Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:

• Die diskrete Zufallsvariable hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen)
• Die stetige Zufallsvariable hat als Wertebereich ein Intervall in den reellen Zahlen einen nicht abzählbaren Wertebereich

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.

Diskrete Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu: $$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$ wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)

Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:

Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, som müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen: $$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$

Definition

Die Verteilungsfunktion $F$ ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.

Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:

Verteilungsfunktion $F$ für die das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt.

Hinweise zur Verteilungsfunktion:

Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:

- die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.

- Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)

- Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.

- Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).

- Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe oben).

Erwartungswert und Standardabweichung

Im Kapitel Beschreibende Statistik haben wir bereits Begriffe wie die relative Häufigkeit, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung kennen gelernt. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

Idee ...	in der Wahrscheinlichkeitsrechung	in der Statistik
Prozent	Wahrscheinlichkeit $$P(X=x_i)$$	relative Häufigkeit $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
Mittel/Durchschnitt	Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$ $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$	Arithmetisches Mittel $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
Streuung/Abweichung vom Mittel	Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$	Standardabweichung $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$

Berechnen Sie a) den Erwartungswert b) die Standardabweichung beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt $($d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\})$.

a) Zuerst machen wir uns eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $f: f(x_i)=P(X=x_i)$:

Der Erwartungswert $E(X)=mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir: $$ \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also 3.5. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht 3.5 Würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interbretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei 3.5 liegen wird.

b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$): $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\ \sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\ =\underline{\underline{1.71} }$$

Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens

Schau dir einmal folgendes Video eines sogenannten Galtonbretts an.

Die Kugeln fallen bei jedem Hölzchen entweder nach links oder nach rechts. Interessant dabei ist, dass alle Kugeln, die am Ende in denselben Behälter gefallen sind, gleich oft nach links und nach rechts gefallen sind. z.B.:

• Alle Kugeln, die ganz ganz links in den Behälter gefallen sind, sind bei jedem Hölzchen nach links gefallen (da es sehr unwahrscheinlich ist, immer nach links zufallen, befinden sich hier auc keine Kugeln).
• Alle Kugeln, die in den 2. Behälter von links fallen, müssen einmal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
• Alle Kugeln, die in den 3. Behälter von links fallen, müssen zweimal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
• ...

Die Frage ist nun nur, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei insgesamt $n$ Brettern insgesamt $k$ mal nach rechts zu fallen?

Die Antwort ist $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$ wobei

• $n!$ heißt "n-faktorielle" oder "n-Fakultät$ und bedeutet: $n!=1\dot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$ ist (alle Zahlen von 1 bis $n$ multipliziert). ' $\binom{n}{k}$ ist der sogenannte Binomialkoeffizient und gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, bei n Versuchen insgesamt k-mal nach rechts zu gehen).

Hier eine Erklärung: