Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Berechnung der Fläche zwischen zwei Kurven

Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven?

Definition

Zuerst wird die Fläche zwischen dem oberen Graphen und der x-Achse berechnet, dann wird die Fläche zwischen dem unteren Graphen und der x-Achse berechnet. Anschließend wird die Fläche des unteren Graphen von der Fläche des oberen Graphen abgezogen. Formel: $\int_{a}^{b} f (x)\,dx - \int_{a}^{b} g (x)\,dx$ ps.: Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist!

Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?

Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunkts. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal in welche Funktion da der y-Wert bei beiden der selbe ist)

$f(x)=2x+1$

$g(x)=x−1$

Funktion gleichsetzen

$2x+1=x−1$

nach x auflösen

$2x=x−2$

$x=−2$

y-Wert

$f(-2)=2*(-2)+1$

$y=-3$

Schnittpunkt

$(-2/-3)$

Merke

Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen in welchem Bereich wir integrieren müssen.

Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag)

S.30/1.031c

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$

$f(x)=A_{\cup}$
$g(x)=A_{ \Box }$

$A_{ \Box }=a*a$
$A_{ \Box }=4*4$
$A_{ \Box }=16$

f(x) und umformen

$f(x)=x^2$
$f(x)=\frac{x^3}{3}$

$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
$A=16-5,33=10,67$

S.30/1.032a

Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.

$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$

$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$

Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet: SP_A:(-6/6) SP_B:(6/6)

$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow\frac{x^3}{6*3}$

$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$

Berechnung der Fläche a (rot gestichelt): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=f(6)-f(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $

Berechnung der Fläche b (braun): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=g(6)-g(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$

Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt)

Fläche e (blau)= 48 - 24= 24

S.30/1.034

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche. $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{7}{3}$

$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3x}$

$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$

$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) =\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$

$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$

$=\frac{63}{12}$

$=5,25$

$A\Box=3*1=3$

$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$

$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$

Lernvideo

ab Minute 3:23

Übungs- und Lernlinks

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf
Seite 1, 2, 3

Quiz

Frage 1:

Lösung: Antwort 1

Frage 2:

Lösung: Antwort 1

Frage 3:

Lösung: Antwort 1