Äquivalenzumformungen

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Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen werden benötigt um Gleichungen zu lösen.

Definition

Zwei Gleichungen heißen äquivalent (= gleichwertig), wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben.

Mithilfe von sogenannten „Äquivalenzumformungen“ können wir nun eine Gleichung in eine dazu äquivalente Gleichung umformen, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern.

Merke

Folgende Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich angewendet werden: Das Vertauschen der beiden Seiten Addition bzw. Subtraktion eines Vielfachen einer Variablen Addition bzw. Subtraktion einer Zahl Multiplikation bzw. Division mit einer Zahl ungleich Null Anwendung des Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung

Folgende Gleichung ist gegeben: $4x-5=2x-8$

Äquivalente Gleichungen:

Seitentausch:	$$2x-8=4x-5$$
Subtraktion von $2x$ ergibt:	$$-8=2x-5$$
Addition von $5$ ergibt:	$$-3=2x$$
Division durch $2$ ergibt:	$$-1.5=x$$

Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-1.5\}}$

Unter folgendem Link findest du interaktive Übungen zum Umformen von Gleichungen:

• Gleichungen lösen (lernen-mit-spass.ch)

Vertiefung: Umformen bei Wurzel und Hochzahl

Merke

Die Wurzel kann auch als Äquivalenzumformung verwendet werden, wenn eine Fallunterscheidung gemacht wird. Ursprungsgleichung: $$(\rm{linker\ Term})^2=(\rm{rechter\ Term})^2$$ Fallunterscheidung: $$\rm{linker\ Term}=+(\rm{rechter\ Term}) \quad $$ $$\rm{linker\ Term}=-(\rm{rechter\ Term})$$ Kurze Schreibweise: $\rm{linker\ Term}=\pm (\rm{rechter\ Term})$

Folgende Gleichung ist gegeben: $x^2=4$

Wurzelziehen auf beiden Seiten

$$x=\pm 2$$

Daraus lässt sich leicht die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L} ={\{-2;2\}}$