Zins- und Zinseszinsrechnung

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Warum gibt es Zinsen?

1. Leihgebür

   Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen

2. Risiko-Gebühr

   Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

Begriffe

• $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
• $n \dots $ Dauer der Verzinsung
• $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
• $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
• $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
• $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

Einfache Zinsen

Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.

Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung

Merke: Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.

Einfaches Beispiel: € 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt.
Lösung:

• $K_0 =30 $
• $n = 1 $
• $K_1 = $?
• $i_{eff} = 5$%

$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_1 = 30 + 1.5 $$ $$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$

Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.

Merke: Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden bei der einfachen Verzinsung die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.

Beispiel: € 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung

• $K_0=30$
• $K_n=$ ?
• $i_{eff}=5$%
• $n=4$

$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$ $$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$ $$ K_n=30+6$$ $$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.

Formel für die einfache Verzinsung
Sei n die Veranlagungsdauer in Jahren, dann gilt:
$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$ und vereinfacht: $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$

Musterbeispiel für die einfache Verzinsung

Aufgabe: Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer!

Lösung

• $K_0=75$
• $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
• $K_\frac{4}{12}=$?
• $i=4$%

$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=76 $$

Antwort: Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

Zinseszinsen

Zinseszinsformel

Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt. Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten Zinseszinsen.

Video: Herleitung der Zineszinsformel

Formale Herleitung

1. $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
2. $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
3. $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$

Formel für die einfache Verzinsung
Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$

Merke:

Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über mehrere volle Jahre verzinst wird

Musterbeispiele

• $K_n$ gefragt

Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?

• $K_0=800$
• $n=2$
• $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
• $K_2=$?

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$ $$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$

• $K_0$ gefragt

Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?

• $K_0=$?
• $n=3$
• $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
• $K_3=1500$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$ $$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$ $$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$

• $n$ gefragt

Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde? Siehe hier auch Verdoppelungszeit

• $K_0=100$
• $n=?$
• $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
• $K_n=200$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$ $$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$ $$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$ $$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$ $$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$ Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.

• $i$ gefragt

Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.

• $K_0=100$?
• $n=7$
• $i=?\%$
• $K_7=118.87$

$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$ $$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$ $$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$ $$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$ $$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$ Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.

Aufzinsungsfaktor

Der Term $$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$ wird als Aufzinsungsfaktor bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:

Zinseszinsformel
Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
$$ K_n=K_0\cdot r^n$$

Merke:

Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden. Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein

Musterbeispiele

• Übung zum Bestimmen von r und i (kommt noch)

Unterjährige Verzinsung

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

Begriffe: Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist

• m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
• m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
• m=12 monatliche Verzinsung und $i_12$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

a) nomineller Jahreszinssatz und unterjähriger Zinssatz

Definition:

$i_m$ heißt unterjähriger Zinssatz. Der Zinssatz $i=m\cdot i_m$ heißt nomineller Jahreszinssatz oder Nominalzissatz

Beispiel: Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ Lösung: $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrwo \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$ Antwort: Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.

Merke:

Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der unterjährige Zinssatz $i_m$: $$ i_m=\frac{i}{m} $$

Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden: Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%. Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s. Für was sollen wir uns entscheiden?

Antwort:

1. Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
2. Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:

$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$ $$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich Verzinsung, so erhilete man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^12=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz zu berechnen.

äquivalenter Zinssatz

Übungs-Rechner: http://www.geogebratube.org/student/m79721