Zins- und Zinseszinsrechnung

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Begriffe

• $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
• $n \dots $ Dauer der Verzinsung
• $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
• $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
• $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%
• $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

Einfache Zinsen

Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.

Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung

Merke: Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.

Einfaches Beispiel: € 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt.
Lösung:

• $K_0 =30 $
• $n = 1 $
• $K_1 = $?
• $i_{eff} = 5$%

$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_1 = 30 + 1.5 $$ $$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$

Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.

Merke: Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden bei der einfachen Verzinsung die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.

Beispiel: € 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung

• $K_0=30$
• $K_n=$ ?
• $i_{eff}=5$%
• $n=4$

$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$ $$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$ $$ K_n=30+6$$ $$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.

Formel für die einfache Verzinsung
Sei n die Veranlagungsdauer in Jahren, dann gilt:
$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$ und vereinfacht: $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$

Musterbeispiel für die einfache Verzinsung

Aufgabe: Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!

Rechenweg

• $K_0=75$
• $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
• $K_\frac{4}{12}=$?
• $i=4$%

$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=76 $$

Lösung: Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.

Zinseszinsen

Zinseszinsformel

Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt. Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten Zinseszinsen.

Video: Herleitung der Zineszinsformel

Formale Herleitung

1. $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
2. $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
3. $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$

Formel für die einfache Verzinsung
Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$

Merke:

Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über mehrere volle Jahre verzinst wird