Zins- und Zinseszinsrechnung

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Begriffe

• $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
• $n \dots $ Dauer der Verzinsung
• $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
• $i \dots $ Zinssatz (z.B. 5%)
• $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

Einfache Zinsen

Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder

• das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
• alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.

Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung

Merke: Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.

Einfaches Beispiel: € 30 Euro werden mit einem Zinssatz 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt.
Lösung:

• $K_0 =30 $
• $n = 1 $
• $K_1 = $?
• $i = 5$%

$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_1 = 30 + 1.5 $$ $$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$

Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.

Merke: Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden bei der einfachen Verzinsung die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert.

Beispiel: € 30 sollen 4 Jahre lang mit 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Lösung

• $K_0=30$
• $K_n=$ ?
• $i=5$%
• $n=4$

$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i\% \textrm{ von } K_0 $$ $$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$ $$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$ $$ K_n=30+6$$ $$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.

Formel für die einfache Verzinsung
Sei n die Veranlagungsdauer in Jahren, dann gilt:
$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i}{100} \cdot K_0 $$ und vereinfacht: $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$

Musterbeispiel für die einfache Verzinsung

Aufgabe: Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitlas nach der Veranlagungsdauer!

Lösung:

• $K_0=75$
• $n=4 Monate = \frac{4}{12}$ Jahre.
• $K_\frac{4}{12}=$?
• $i=4$%

$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$ $$ K_\frac{4}{12}=76 $$

Antwort: Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.