Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Wiederholung und Herleitung der Formel

Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven:

ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven.

Flächeninhalt zwischen zwei Kurven

Definition

Formel zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann gilt: $$Flächeninhalt\ zwischen\ f\ und\ g=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss!

$Aha!$ Das folgende Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel

Herleitung der Formel als Bilderreihe

• 

  Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.

• 

  Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...

• 

  ... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx ab.

• 

  thumb|Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.

{{{2}}}

Merke

Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist! $Aha!$ Dies kannst du im folgenden Applet überprüfen.

Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?

Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunktes. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal, in welche der beiden Funktion, da der y-Wert bei beiden derselbe ist)

$f(x)=2x+1$

$g(x)=x−1$

Funktion gleichsetzen, um die Schnittpunkte zu bestimmen (oder Intersect-Befehl) $$f(x)=g(x)$$ $$2x+1=x−1$$

nach x auflösen

$$2x=x−2$$

$$x=−2$$

y-Koordinaten berechnen:

$$f(-2)=2*(-2)+1$$

$$y=-3$$

Schnittpunkt:

$(-2/-3)$

Merke

Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen.

Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag)

S.30/1.031c

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$

Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$

$A_{ \Box }=a*a$
$A_{ \Box }=4*4$
$A_{ \Box }=16$

f(x) und umformen

$f(x)=x^2$
$f(x)=\frac{x^3}{3}$

$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
$A=16-5,33=10,67$

S.30/1.032a

Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.

$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$

$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$

Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet: SP_A:(-6/6) SP_B:(6/6)

$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow F(x)=\frac{x^3}{6*3}$

$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow G(x)=\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$

Berechnung der Fläche a (rot gestrichelt): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=F(6)-F(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $

Berechnung der Fläche b (braun): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=G(6)-G(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$

Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt)

Fläche e (blau)= 48 - 24= 24

Übungs- und Lernlinks

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf
Seite 1, 2, 3

Quiz

Frage 1:

Lösung: Antwort 1

Frage 2:

Lösung: Antwort 1

Frage 3:

Lösung: Antwort 1