Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Wiederholung und Herleitung der Formel

Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven:

ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven.

Flächeninhalt zwischen zwei Kurven

Definition

Formel zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann gilt: $$Flächeninhalt\ zwischen\ f\ und\ g=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss!

app funktioniert noch nicht!

Herleitung der Formel
Gesucht ist die blau markierte Fläche. Verschiebe den Schieberegler um zu sehen, wie diese mithilfe des bestimmten Integrales berechnet werden kann.

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  Zuerst wird die Fläche zwischen dem oberen Graphen und der x-Achse berechnet, $\int_{a}^{b} f (x)dx$,

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  dann wird die Fläche zwischen dem unteren Graphen und der x-Achse berechnet $\int_{a}^{b} g (x)dx$.

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  Anschließend wird die Fläche des unteren Graphen von der Fläche des oberen Graphen abgezogen: $\int_{a}^{b} f (x)dx - \int_{a}^{b} g (x)dx$

Definition

Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist! hier noch app von gurtner: http://tube.geogebra.org/material/show/id/194563

Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?

Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunktes. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal, in welche der beiden Funktion, da der y-Wert bei beiden derselbe ist)

$f(x)=2x+1$

$g(x)=x−1$

Funktion gleichsetzen, um die Schnittpunkte zu bestimmen (oder Intersect-Befehl) $$f(x)=g(x)$$ $$2x+1=x−1$$

nach x auflösen

$$2x=x−2$$

$$x=−2$$

y-Koordinaten berechnen:

$$f(-2)=2*(-2)+1$$

$$y=-3$$

Schnittpunkt:

$(-2/-3)$

Merke

Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen.

Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag)

S.30/1.031c

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$

Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$

$A_{ \Box }=a*a$
$A_{ \Box }=4*4$
$A_{ \Box }=16$

f(x) und umformen

$f(x)=x^2$
$f(x)=\frac{x^3}{3}$

$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
$A=16-5,33=10,67$

S.30/1.032a

Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.

$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$

$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$

Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet: SP_A:(-6/6) SP_B:(6/6)

$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow F(x)=\frac{x^3}{6*3}$

$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow G(x)=\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$

Berechnung der Fläche a (rot gestrichelt): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=F(6)-F(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $

Berechnung der Fläche b (braun): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=G(6)-G(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$

Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt)

Fläche e (blau)= 48 - 24= 24

Übungs- und Lernlinks

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf
Seite 1, 2, 3

Quiz

Frage 1:

Lösung: Antwort 1

Frage 2:

Lösung: Antwort 1

Frage 3:

Lösung: Antwort 1