Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung
Inhaltsverzeichnis
Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Erklärung
s(t) gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)
v(t) gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).
a(t) gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)
Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:
Aufgaben
Beispiel 1:
Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s². Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s². Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.
a)Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$ $$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$ $$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$ $$v(t)=5,5 \cdot t$$
Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$
b) Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$ $$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$ $$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$
c) 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:
- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
Tipp zur Berechnung:
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$ $$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$ $$s(180)=89100 m$$
Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.
- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt
http://matura.marienberg.at/index.php/Datei:C.png
Tipp zur Berechnung:
$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$
Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.
d) Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.
Tipp zur Berechnung:
$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.
Beispiel 2
- Quiz (z.B. mit LearningApps) oder ein - GeoGebra-App oder ein - Video oder - Onlinematerialien (Aufgaben, Erklärungen, …)
