Version vom 29. Dezember 2018, 15:38 Uhr

Daten und Diagramme

Begriffe

$n...$ Umfang der Stichprobe

$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle

$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle

$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z. B. $\{ 1; 2; 5; 5; 5; 10;\}$ )

$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)

$a_4...$ zweiter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_4=10$)

$a_i...$ $i.$Wert, der in der Stichprobe vorkommt

Arten von Merkmalen/Daten

Im Groben unterscheidet man zwischen 3 Arten von Merkmalen:

• nominale Merkmale können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind "Geschlecht", "Haarfarbe".
• ordinale Merkmale können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z.B. Addition). Beispiele sind "Platzierung bei einem Rennen", "Bildungsabschlüsse".
• metrische Merkmale können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele: "Gehalt", "Alter", "Schuhgröße".

Absolute und relative Häufigkeit

Definition

Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt. z.B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, da die 2 insgesamt dreimal vorkommt.

Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.

So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd. dagegen wohl eher klein.

In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel Prozent der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit...

Definition

Die relative Häufigkeit $h_i$ gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt: $$h_i=\frac{H_i}{n}$$ z.B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl 2 genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit: $$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$

Diagramme

Stab-/Säulen- und Balkendiagramm

In Stab- oder Säulendiagrammen gibt die y-Achse die absolute Häufigkeit (oder relative Häufigkeit) eines Merkmales auf der x-Achse an.

Säulendiagramm der Schuhgrößen

Bei Balkendiagrammen sind die Achsen vertauscht.

Balkendiagramm der Schuhgrößen

Schummeln: Klassen vereinigen
es fehlt noch Histogramm

Kreisdiagramm

Bei Kreisdiagrammen entspricht ein Kreissegment der relativen Häufigkeit eines Merkmales. Alle Kreissegmente zusammen (d.h. alle relativen Häufigkeiten) ergeben einen ganzen Kreis (d.h. 100 %).

Kreisdiagramm der Schuhgrößen

Merke

Kreisdiagramm mit 3d-Effekt Schummeln mit Kreisdiagrammen Bei dreidimensionalen Kreisdiagrammen erscheinen Segmente im hinteren Bereich kleiner als Segemnte im vorderen Bereich. Deshalb sollte man auf den 3d-Effekt verzichten.

Boxplot (Kastenschaubild)

Boxplot-Diagramme geben einen Überblick über die Verteilung der Daten, indem Sie die Datenreihe in 4 25%-Bereiche teilen. Hierbei bildet der Bereich zwischen den Quartilen den "Kasten", von dem aus die Antennen zum minimalen und maximalen Wert gehen ($x_{min}$ und $x_{max}$).

Boxplot-Diagramm

Merke

In jedem der 4 Bereiche eines Boxplot-Diagrammes liegen ca. 25 % aller Werte

Gegeben ist das folgende Boxplot-Diagramm, das aus den Daten der Schuhgrößen erstellt wurde.

Boxplot der Daten für die Schuhgrößen

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie diese Entscheidung:

1. Die Anzahl der Werte zwischen 36 und 37 ist mit Sicherheit geringer als die Anzahl der Werte zwischen 42 und 46.
2. Weniger als 25 % aller Werte sind kleiner oder gleich 42.

$\ $

1. Falsch! Da jeder Bereich ca. 25 % aller Werte umfasst, liegen in beiden Bereichen ungefähr gleich viele Werte.
2. Falsch! Es sind mindestens 75 % aller Werte kleiner oder gleich 42 (oder weniger als 25 % aller Werte sind größer als 42).

http://tube.geogebra.org/student/m5245

http://tube.geogebra.org/student/m274871 (Andi Lindner)

http://tube.geogebra.org/student/b115371#material/56673 (sollte bearbeitet werden)

http://tube.geogebra.org/student/m129201 (Test)

Schummeln mit Statistik

Manipulieren von Liniendiagrammen

Die folgende Tabelle bildet die Grundlage für das Einführungsbeispiel:

Anzahl der im Straßenverkehr Getöteten in Österreich:

Quelle: Statistik Austria

Das entsprechende Liniendiagramm sieht folgendermaßen aus:

Die an sich schon beeindruckende Statistik kann aber durchaus noch beeindruckender dargestellt werden, indem verschiedene Manipulationsmöglichkeiten angewendet werden.

Gezielte Auswahl der Datenreihe

In den Jahren 1999 bis 2014 sind die Werte bis auf eine kleine Ausnahme immer gesunken. Diese Daten nehmen wir im folgenden Diagramm.

Verkürzung der y-Achse

Um das Sinken der Werte noch deutlicher zu machen, wird die y-Achse erst bei 400 gestartet.

Schon beeindruckender, nicht?

Dehnen und Stauchen der Achsen

Eine einfache Art, die Steilheit des Graphen zu verändern, ist das Stauchen der x-Achse bzw. entsprechendes Dehnen der y-Achse.