Potenzen: Unterschied zwischen den Versionen

MediaWiki:Common.css > Sarah > MediaWiki:Common.css > TeX-Befehle > Potenzen

Version vom 9. Juli 2018, 22:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Rechnen mit Potenzen
3 Zusammenfassungs-Video
4 Alle Regeln auf einen Blick
5 Weitere Aufgaben
6 Interaktiver Test

Definition

Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:

Aufbau einer Potenz

Beispiele:

$2^3$
$5^x$
$x^{-2}$
$c^{b+a}$

Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ $\mathbb{R}$.

Rechnen mit Potenzen

Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ vereinfachen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:

Potenzregel 1

Merke

1. Regel der Potenzrechnung

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.

Beweis für diese Regel

$a^n\cdot a^m=\left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n-mal}\right)\cdot \left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal}\right)$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n+m-mal}=a^{n+m}$

Musterbeispiele:

Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:

$x^3\cdot x^2=$

$x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$

!Achtung! Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $2$ und $b$ unterschiedliche Basen sind.

Potenzregel 2

Merke

2. Regel der Potenzrechnung

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.

Beweis für diese Regel

Nehmen wir einfachheitshalber an, dass $n>m$ ist:

$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt $m$ Stück $a$ gekürzt werden.}$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$

Musterbeispiele:

Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:

$\frac{x^3}{x^2}=$

$\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=2^{4+3-5}=2^2=4$

Potenzregel 3

Merke

3. Regel der Potenzrechnung

$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ Potenzen werden potenziert ("hoch-genommen"), indem man die Exponenten multipliziert.

Beweis für diese Regel

$\left(a^n\right)^m = \underbrace{\left(a^n\right) \cdot \left(a^n\right) \cdot . . . \cdot \left(a^n\right)}_{m-mal}$

$\overset{(Regel \ 1)}{=}$ $a^{\overbrace{n+n+. . . +n}^{m-mal} }=a^{n \cdot m}$

Musterbeispiele:

Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:

$\left(x^3\right)^2=$

$\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$

$\left(x^{-3}\right)^2=$

$\left(x^{-3}\right)^2=x^{-6}$

Potenzregel 4

Merke

4. Regel der Potenzrechnung

$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a$ ungleich $0$ ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere Informationen zu $0^0$ findest du hier.

Beweis für diese Regel

$a^0=a^{n-n} \overset{Regel \ 2}{=} \frac{a^n}{a^n} \overset{kürzen}{=} 1$

Musterbeispiele:

Wende die 5. Regel der Potenzrechnung an:

$x^0=$

$x^0=1$

$12341234^0=$

$12341234^0=1$

Potenzregel 5

Merke

5. Regel der Potenzrechnung

$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den Kehrwert bildet

oder

verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

Beweis für diese Regel

$a^{-n}=a^{0-n} \overset{(Regel \ 2)}{=} \frac{a^0}{a^{n} } \overset{(Regel \ 4)}{=} \frac{1}{a^n} $

Musterbeispiele:

Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:

$\frac{x^2}{x^{-3} }=$

$\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{5.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=\frac{x^2\cdot x^3\cdot y^2\cdot y^{-1}\cdot y^{-3} }{1}=x^5\cdot y^{-2}$

Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 5) und dann Regel 1 zu verwenden.

Potenzregel 6

Merke

6. Regel der Potenzrechnung

$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ und\ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert (hoch-nimmt)

Beweis für diese Regel

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}_{n-mal}$

$\overset{(Vertauschungsgesetz)}{=} \underbrace{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}_{n-mal} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}_{n-mal}$ $=a^n\cdot b^n$

Musterbeispiele:

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$(x\cdot y)^3$

$(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$

Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der Bruchrechnung dividiert wird, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: $=\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$ Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an: $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $ $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$

$(2x)^3-2x^3=$

$(2x)^3-2x^3=8x^3-2x^3=6x^3$

Potenzregel 7

Merke

7. Regel der Potenzrechnung

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$

Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.

Beweis für diese Regel

Wurzelziehen und Potenzieren sind Umkehroperationen. Daraus folgt:

${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$ Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$ Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.

Musterbeispiele:

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

$\sqrt[3]{5}=$

$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$

$\sqrt[3]{5^{12} }=$

$\sqrt[3]{5^{12} }=5^{\frac{12}{3} }=5^{4}=625$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }= \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }= 2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$

Zusammenfassungs-Video

Alle Regeln auf einen Blick

1. Regel	$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$	Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
2. Regel	$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$	Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
3. Regel	$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$	Potenzen werden potenziert ("hoch-genommen"), indem man die Exponenten multipliziert.
4. Regel	$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$	Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
5. Regel	$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$	Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
6. Regel	$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ und\ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert (hoch-nimmt).
7. Regel	$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$	Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.

Weitere Aufgaben

Aufgaben von Aufgabenfuchs

Vereinfache den Term so weit wie möglich: $$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y{-4}\right) ^2}$$

Lösung:

$$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y{-4}\right) ^2}$$ Zuerst wenden wir die Regel 6 an und bringen die Zahlen ganz nach vor. Wichtig ist dabei, dass die negativen Vorzeichen in der Basis verschwinden, wenn mit einem geraden Exponenten potenziert wird, da z. B. $(-x^2)^4=(-x^2)\cdot (-x^2) \cdot (-x^2) \cdot (-x^2) =+x^8$ ist: $$\frac{(-5)^4\cdot x^8\cdot y^{-16} }{3^2\cdot 9^2\cdot x^{-10}\cdot y^{-8} }$$ Nun bringen wir alle Potenzen mit einer Variablen hinauf in den Zähler und verwenden dabei die Regel 5: $$\frac{625\cdot x^8\cdot x^{10}\cdot y^{-16}\cdot y^8 }{81}$$ Nun wenden wir Regel 1 an: $$\frac{625 \cdot x^{18}\cdot y^{-8} }{81}$$ Formen wir das noch um, ergibt sich: $$\frac{625\cdot x^{18} }{81\cdot y^{8} }$$

Interaktiver Test

Interkativer Test

Quelle: Michael Ruhrländer

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
-Musterbeispiele: Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:
+Musterbeispiele:
+<br />
+<br />
+Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $x^3\cdot x^2=$
 |2= $x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$}}
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
 |2=
 $2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$
-!Achtung! Weiter kannst du diesen [[Term]] nicht zusammenfassen, da 2 und b unterschiedliche Basen sind}}
+!Achtung! Weiter kannst du diesen [[Term]] nicht zusammenfassen, da $2$ und $b$ unterschiedliche Basen sind.}}
 ===Potenzregel 2===
@@ Zeile 49: / Zeile 52: @@
 |2= Nehmen wir einfachheitshalber an, dass $n>m$ ist:
-$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt m Stück a gekürzt werden.}$
+$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt $m$ Stück $a$ gekürzt werden.}$
 $=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$
 }}
-Musterbeispiele: Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:
+Musterbeispiele:
+<br />
+<br />
+Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{x^3}{x^2}=$
 |2= $\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$}}
@@ Zeile 74: / Zeile 80: @@
 }}
-Musterbeispiele: Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:
+Musterbeispiele:
+<br />
+<br />
+Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\left(x^3\right)^2=$
 |2= $\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$}}
@@ Zeile 86: / Zeile 95: @@
 {{Vorlage:Merke|1='''4. Regel der Potenzrechnung'''
 $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$
-Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a ungleich 0 ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Null_hoch_Null Informationen zu $0^0$ findest du hier].
+Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a$ ungleich $0$ ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29#Null_hoch_Null Informationen zu $0^0$ findest du hier].
 }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
 |2=
@@ Zeile 93: / Zeile 102: @@
-Musterbeispiele: Wende die 5. Regel der Potenzrechnung an:
+Musterbeispiele:
+<br />
+<br />
+Wende die 5. Regel der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $x^0=$
 |2= $x^0=1$}}
@@ Zeile 117: / Zeile 129: @@
 }}
-Musterbeispiele: Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:
+Musterbeispiele:
+<br />
+<br />
+Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\frac{x^2}{x^{-3} }=$
 |2= $\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{5.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$
@@ Zeile 141: / Zeile 156: @@
 }}
-Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
+Musterbeispiele:
+<br />
+<br />
+Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $(x\cdot y)^3$
 |2= $(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$}}
@@ Zeile 166: / Zeile 184: @@
 $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$
-Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
+Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
 }}{{Vorlage:Ausklapp|1= Beweis für diese Regel
 |2=
@@ Zeile 173: / Zeile 191: @@
 }}
-Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
+Musterbeispiele:
+<br />
+<br />
+Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
 {{Vorlage:Beispiel|1= $\sqrt[3]{5}=$
 |2= $\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$}}
@@ Zeile 195: / Zeile 216: @@
 | 3. Regel|| $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ || Potenzen werden '''potenziert''' ("''hoch-genommen''"), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.
 |-
-| 4. Regel|| $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ || Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a $\neq$ 0 ist.
+| 4. Regel|| $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ || Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
 |-
 | 5. Regel|| $a^{-n}=\frac{1}{a^n}  \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ ||
-Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten
+Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
 |-
 | 6. Regel|| $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n   \ und\  \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ ||
-Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''hoch-nimmt'')
+Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''hoch-nimmt'').
 |-
 | 7. Regel|| $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ ||
-Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
+Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
 |}
@@ Zeile 211: / Zeile 232: @@
-== weitere Aufgaben ==
+== Weitere Aufgaben ==
 * [http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/potenz/rechnen-mit-potenzen.shtml Aufgaben von Aufgabenfuchs]
@@ Zeile 220: / Zeile 241: @@
 |2= '''Lösung:'''
 $$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y{-4}\right) ^2}$$
-Zuerst wenden wir die Regel 6 an und bringen die Zahlen ganz nach vor. Wichtig ist dabei, dass die negativen Vorzeichen in der Basis verschwinden, wenn mit einem geraden Exponenten potenziert wird, da z.b. $(-x^2)^4=(-x^2)\cdot (-x^2) \cdot (-x^2) \cdot (-x^2) =+x^8$ ist:
+Zuerst wenden wir die Regel 6 an und bringen die Zahlen ganz nach vor. Wichtig ist dabei, dass die negativen Vorzeichen in der Basis verschwinden, wenn mit einem geraden Exponenten potenziert wird, da z. B. $(-x^2)^4=(-x^2)\cdot (-x^2) \cdot (-x^2) \cdot (-x^2) =+x^8$ ist:
 $$\frac{(-5)^4\cdot x^8\cdot y^{-16} }{3^2\cdot 9^2\cdot x^{-10}\cdot y^{-8} }$$
-Nun bringen wir alle Potenzen mit einer Variable hinauf in den Zähler und verwenden dabei die Regel 5:
+Nun bringen wir alle Potenzen mit einer Variablen hinauf in den Zähler und verwenden dabei die Regel 5:
 $$\frac{625\cdot x^8\cdot x^{10}\cdot y^{-16}\cdot y^8  }{81}$$
 Nun wenden wir Regel 1 an:
@@ Zeile 230: / Zeile 251: @@
 }}
-== interaktiver Test ==
+== Interaktiver Test ==
 {| border=1 align=center

Potenzen: Unterschied zwischen den Versionen

Widgets

Widgets

Letzte Änderungen

Gewünschte Seiten

Wer ist online?

Version vom 9. Juli 2018, 22:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition

Rechnen mit Potenzen

Potenzregel 1

Potenzregel 2

Potenzregel 3

Potenzregel 4

Potenzregel 5

Potenzregel 6

Potenzregel 7

Zusammenfassungs-Video

Alle Regeln auf einen Blick

Weitere Aufgaben

Interaktiver Test

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Mehr

Suche

Fokus

Besuchte Seiten

Meine Änderungen

Werkzeuge