Der Logarithmus (2.3.): Unterschied zwischen den Versionen
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! Regel!! Formal!! Begründung und Beispiel | ! Regel!! Formal!! Begründung und Beispiel | ||
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| − | | 1. "Hoch 1-Regel"|| $$\log_a a=1$$|| weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$ | + | | 1. "Hoch 1-Regel"|| $$\log_a a=1$$|| style="text-align:center;" | weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$ |
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| − | | 2. "Hoch 0"-Regel|| $$\log_a 1=0$$ || weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$ | + | | 2. "Hoch 0"-Regel|| $$\log_a 1=0$$ || style="text-align:center;" | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$ |
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| − | | 3. Produktregel|| $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$|| $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ | + | | 3. Produktregel|| $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$|| style="text-align:center;"| $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
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| − | | 4. Quotientenregel|| $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$|| $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ | + | | 4. Quotientenregel|| $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$|| style="text-align:center;"|$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
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| − | | 5. Exponentenregel|| $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$|| $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$ | + | | 5. Exponentenregel|| $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$|| style="text-align:center;"| $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$ |
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| − | | 6. "Negativ-Regel"|| $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$|| Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern! | + | | 6. "Negativ-Regel"|| $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$|| style="text-align:center;"| Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern! |
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| − | | 7. Umrechnung im Taschenrechner || $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$|| Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.: | + | | 7. Umrechnung im Taschenrechner || $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$|| style="text-align:center;"| Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.: |
$$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$ | $$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$ | ||
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Version vom 15. Februar 2016, 08:59 Uhr
Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$ nach x auflösen zu können.
Inhaltsverzeichnis
Der Logarithmus ist der Exponent
Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten Basis a, mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:
$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$ dann heißt $$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$ $$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$
Beispiele
- $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
- $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.
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Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.
$$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$ |
Berechnung mithilfe der Potenzregeln
Zwei besondere Basen
Logarithmus zur Basis 10
Logarithmus zur Basis $e$
Rechengregeln des Logarithmus
Mithilfe der Rechenregeln für Potenzen kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:
| Regel | Formal | Begründung und Beispiel |
|---|---|---|
| 1. "Hoch 1-Regel" | $$\log_a a=1$$ | weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$ |
| 2. "Hoch 0"-Regel | $$\log_a 1=0$$ | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$ |
| 3. Produktregel | $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$ | $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
| 4. Quotientenregel | $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$ | $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$ |
| 5. Exponentenregel | $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$ | $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$ |
| 6. "Negativ-Regel" | $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$ | Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern! |
| 7. Umrechnung im Taschenrechner | $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$ | Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:
$$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$ |
Zusammenfassung
Beispiele
kommt bald
