Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven: Unterschied zwischen den Versionen
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2kurven-großeFläche.png|Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ... | 2kurven-großeFläche.png|Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ... | ||
2kurven-kleine Fläche.png|... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx ab. | 2kurven-kleine Fläche.png|... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx ab. | ||
2kurven-herleitung 1.png|thumb|Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche. | 2kurven-herleitung 1.png|thumb|Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche. | ||
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| − | Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist! | + | Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist! <br> |
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=== Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?=== | === Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?=== | ||
Version vom 26. August 2015, 07:56 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Wiederholung und Herleitung der Formel
| Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven: |
| ab Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven. |
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Formel zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen
Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann gilt: $$Flächeninhalt\ zwischen\ f\ und\ g=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$ wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss! |
$Aha!$ Das folgende Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel
Herleitung der Formel als Bilderreihe
Zuerst werden die Schnittpunkte bestimmt.
Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...
... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx ab.
thumb|Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.
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Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist! $Aha!$ Dies kannst du im folgenden Applet überprüfen. |
Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?
Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunktes. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal, in welche der beiden Funktion, da der y-Wert bei beiden derselbe ist)
$f(x)=2x+1$
$g(x)=x−1$
Funktion gleichsetzen, um die Schnittpunkte zu bestimmen (oder Intersect-Befehl)
$$f(x)=g(x)$$
$$2x+1=x−1$$
nach x auflösen
$$2x=x−2$$
$$x=−2$$
y-Koordinaten berechnen:
$$f(-2)=2*(-2)+1$$
$$y=-3$$
Schnittpunkt:
$(-2/-3)$
|
Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen. |
Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag)
S.30/1.031c
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.
$f(x)=x^2$
$g(x)=4$
$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box }$
$A_{ \Box }=a*a$
$A_{ \Box }=4*4$
$A_{ \Box }=16$
f(x) und umformen
$f(x)=x^2$
$f(x)=\frac{x^3}{3}$
$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$
$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
$A=16-5,33=10,67$
S.30/1.032a
Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.
$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$
$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$
Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet: SP_A:(-6/6) SP_B:(6/6)
$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow F(x)=\frac{x^3}{6*3}$
$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow G(x)=\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$
Berechnung der Fläche a (rot gestrichelt): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=F(6)-F(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $
Berechnung der Fläche b (braun): $\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=G(6)-G(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$
Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt)
Fläche e (blau)= 48 - 24= 24
Lernvideo
Übungs- und Lernlinks
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf
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Quiz
