Trigonometrie (2.12 und 3.10): Unterschied zwischen den Versionen
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Das folgende Video zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes: | Das folgende Video zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes: | ||
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=== Cosinussatz === | === Cosinussatz === | ||
Version vom 11. Juli 2014, 08:48 Uhr
In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
Die folgende Seite ist in 4 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
- Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
- Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
- Trigonometrische Funktionen: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
- Das allgemeine Dreieck, indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
Die letzten beiden Kapitel bestehen einer Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln und Übungsbeispielen
Inhaltsverzeichnis
Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck
Begriffe
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (Dreieck mit einem 90°-Winkel), bestehend aus der Hypotenuse (=längste Seite des rechtw. Dreiecks) und den beiden Katheten. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
- die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber
- die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.
Sinus, Cosinus und Tangens
| Definition |
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Das besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
Wichtig! Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im rechtwinkligen Dreieck!
Hier noch Aufgaben
Steigung und Steigungswinkel
Aus dem Kapitel Lineare Funktionen wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$ Somit erhalten wir die Formel:
| $$k=\tan \alpha$$ |
Musterbeispiel
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
- Bestimmen Sie
- a) den Steigungswinkel
- b) die prozentuelle Steigung
Lösung
a) Berechnung des Steigungswinkels:
$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ | im TR: $sin^{-1}$
$\alpha = 8.05°$
b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen: $$k=\ tan\ \alpha$$ $$k=\tan \ 8.05°$$ $$k=0.14=14 \ \%$$ A: Die Steigung beträgt 14 %.
Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius r=1 cm. Sein Umfang beträgt $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$
Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
1) Gradmaß (abgekürzt mit °)
So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.
- Eine volle Umdrehung hat 360°
- Eine halbe Umdrehung hat 180°
2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)
Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden.
- Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
- Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.
| Merke: |
|
Musterbeispiel
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.
b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.
Lösung
a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$
A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$
b) Bogen- in Gradmaß: $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$ $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$ $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$
A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis
Theorie
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:
Dabei gilt:
- Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
- Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
- Der Tangens entspricht der Länge des Tangentenabschnittes.
Begründung:
Sinus: Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die $\color{\textrm{rote Strecke}}{GK}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete $\color{red}{GK}$.
Zu zeigen ist nun: $$\sin \ \alpha=\color{red}{GK}$$
Beweis:
$$\sin\ \alpha=\frac{\color{red}{GK}}{H}=\frac{\color{red}{GK}}{1}=\color{red}{GK}$$
$$\sin\ \alpha=\color{red}{GK}$$
Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.
Mit dem folgenden Arbeitsblatt kannst du dein Verständnis vertiefen.
Wichtige Werte
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das obige Arbeitsblatt sollte dir dabei helfen:
| Sinus | Cosinus | Tangens | |
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad |
1 | 0 | nicht definiert |
| 180°
$\pi$ rad |
0 | -1 | 0 |
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad |
-1 | 0 | nicht definiert |
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad |
0 | 1 | 0 |
Trigonometrische Funktionen
Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$
Stellt man nun den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:
| Erklärung: |
In diesem Arbeitsblattfindest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die Graphen kommt. |
Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:
Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$
Der graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:
Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
- Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
- Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die Wertemenge $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der Betrag verwendet.)
- Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
- Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der Tabelle zum Einheitskreis herausgelesen werden.
Das allgemeine Dreieck
Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.
Ohne rechten Winkel können wir die Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein: a) den Sinussatz b) den Cosinussatz und c) die allgemeinen Flächenformeln
Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechtenwinkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).
Sinussatz
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck 1. Eine Seite und 2. der gegenüberliegende Winkel und 3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.
| Formel für den Sinussatz |
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$ |
Das folgende Video zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:
Cosinussatz
Allgemeine Flächenformeln
Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck
| rechtwinkliges Dreieck | allgemeines Dreieck | |
| Winkelsumme | $180°=\alpha+\beta+\gamma$ | $180°=\alpha+\beta+\gamma$ |
| Pythagoras | $H^2=GK^2+AK^2$ | gilt nur im rechtwinkligem Dreieck! |
| Flächeninhalt | $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$ | $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$ |
| Sinussatz | $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$ | |
| Cosinussatz | $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$ $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$ |
Beispiele
- Leuchtturm (bifie-Aufgabe)
- Standseilbahn (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
- Glaspyramiede des Louvre (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
- Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
- Hochwasserschutz (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
- Siehe auch Formeln aufstellen
- Gletschermarathon (bifie-Aufgabe: mittel)
- Geschwindigkeitskontrolle (bifie-Aufgabe: leicht)
- Wetterballon (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
- Siehe auch Lineare Funktionen
- Wasserverbrauch (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
- Die Sonne (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
- Siehe auch: Logarithmus
- Radausflug (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
- Siehe auch
- * Beschreibende Statistik
- * Exponentielle Abnahme
- Windkraftanlage (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
- Zimmerei (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
- Achtung! Aufgabe b lernst du erst in der 5. Klasse
