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(→‎Mengenoperationen)
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Eine Menge A ist eine Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist.
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Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist.<br />
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In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.
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=== Differenzen von Mengen ===
 
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=== Überblick ===
 
=== Überblick ===

Version vom 12. August 2016, 09:06 Uhr

Einleitung


Was ist eine Menge

Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Menge $A$ ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen. Die Elemente können dabei Zahlen, Objekte, Personen usw. sein.
  • Die Anzahl der Elemente in einer Menge bezeichnet man als Mächtigkeit, formal: $\vert A \vert$
  • Ist ein Element $x$ in der Menge $A$ enthalten, so gilt $x\in A$ ("$x$ ist Element von $A$")
  • Ist ein Elment $y$ NICHT in der Menge $A$ enthalten, so gilt $y\not\in A$ ("$y$ ist nicht Element von $A$")



Bsp.png

In einer Spielgruppe können die Kinder in der Menge $A$ angegeben werden: $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Geben Sie die Mächtigkeit der Menge an.

Die Mächtigkeit ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Somit ist $\vert A\vert=6$


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer

Darstellung von Mengen

Mengen-/Venn-Diagramme

Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker John Venn eingeführt wurde. 

Bild


Bsp.png

Gegeben ist die Menge $A$ mit $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Stellen Sie die Menge in einem Mengendiagramm grafisch dar.

Bild


Darstellung im aufzählenden Verfahren

Beim aufzählenden Verfahren werden die Elemente einer Menge innerhalb von so genannten Mengenklammern, $\{$ und $\}$, aufgezählt.

z.B.: $A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$


Darstellung im beschreibenden Verfahren

Beim beschreibenden Verfahren werden die gemeinsame Eigenschaft der Elemente beschrieben.

aufzählendes Verfahren Mengendiagrammm beschreibendes Verfahren
M={Frühlich, Sommer, Herbst, Winter} Bild M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres.
B={1,2,3,4,5} Bild $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$

$$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$

Mengenoperationen

Teilmenge und leere Menge

Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:


Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist.

Formal: $B \subseteq A$ 


Graphik von Franz


Bsp.png

Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A={Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas}$. Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.

$$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer



Eine Teilmenge jeder Menge ist die sogenannte leere Menge $\varnothing$:


Definition
Grün rufezeichen.png
 Leere Menge $\varnothing$

Die leere Menge $\varnothing$ beinhaltet kein Element, sie ist leer.

Es gilt:

  • $\varnothing=\{ \ \}$
  • $\vert \varnothing \vert=0$


Beispiele



Komplementärmenge $\bar{A}$

Durchschnitt von Mengen

Bild
Definition
Grün rufezeichen.png
 Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind


Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Durschnittsmenge.


Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$

Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die in beiden Elmenten vorhanden sind. Somit gilt: $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$ 

Bild

Interpretiere die Durschnittsmenge.

$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$ bedeutet, dass nur Julia und Peter in beiden Vereinen Mitglied sind.


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer


Vereinigung von Mengen

Bild

Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
  • in $A$ enthalten oder
  • in $B$ enthalten oder
  • in $A$ und $B$ enthalten sind.



Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Vereinigungsmenge.


Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$

Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente der beiden Mengen. Somit gilt: $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$ 

Bild


Interpretiere die Durschnittsmenge.

In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.


Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer



Differenzen von Mengen

Übung zur Definition einer Menge
Quelle: Michael Ruhrländer


Überblick

https://www.geogebra.org/m/SGrUtT4h (Vorlage von Weindl

Test

https://www.geogebra.org/m/gKqgMTxx

Zusammenfassung und Vertiefung


Aufgaben

http://brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_mengen_04/p0_mengen_04.htm


$Bifie$ ["URL1" "Aufgabentitel1"]

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