Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 3. Februar 2015, 20:47 Uhr

Im Folgenden beschäftigen wir uns mit "mehrstufigen Zufallsexperimenten". Dies sind Experimente, die mehrmals ausgeführt werden.

Beispiele:

• Mehrere Würfe mit einem Würfel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei 6er hintereinander zu würfeln?
• Mehrere Kugeln aus einer Urne blind ziehen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 rote und 2 gelbe zu ziehen?
• Zweimaliges Werfen mit einer Münze: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal "Kopf" kommt?

Baumdiagramme

Um mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen, verwendet man Baumdiagramme. Im folgenden Beispiel ist ein Baumdiagramm für einen zweistufigen Münzwurf dargestellt.

• Für den ersten Versuch gibt es 2 Möglichkeiten: "Kopf" oder "Zahl"
• Für den zweiten Versuch gibt es dann wieder die Möglichkeiten: "Kopf" oder "Zahl".
• Dadurch entsteht ein Baum. Ganz oben ist der Stamm, davon gehen die Äste weiter zu den sogenannten Knoten. Ganz unten befinden sich die Blätter.

Nachdem der Baum gezeichnet wurde, wird nun über jedem Ast jene Wahrscheinlichkeit eingetragen, mit der dieser Ast beschritten wird:

Da es sich um einen Münzwurf handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad $P=\frac{1}{2}$

Merke

$\ $ Die Anzahl der Stufen des Wahrscheinlichkeitsbaumes ist gleich der Anzahl der Zufallsversuche. Z.B. Wird dreimal aus einer Box gezogen, so hat der Baum drei Stufen. Die Äste, die von einem Knoten weggehen sind gleich der Anzahl der Ereignismöglichkeiten bei einem Versuch. Z.B. Wird aus einer Box mit 4 unterschiedlichen Kugeln gezogen, so gibt es 4 Äste.

Pfadregeln

Mithilfe des Baumdiagramms, kann man nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeiten für einen Pfad (z.B. 2x"Kopf" berechnen. Hierzu brauchen wir nur die

1. Pfadregel (Multiplikationsregel)

Merke

1. Pfadregel: Geht man entlang eines Pfades, so multipliziert man die Einzelwahrscheinlichkeiten (dies ist die Multiplikationsregel (auch "UND-Regel" genannt))

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen einer Münze beide Male "Kopf" zu sehen ist.

Zuerst betrachten wir unser Baumdiagramm von oben und markieren jenen Pfad, bei dem wir zweimal "Kopf" werden:

Der rot markierte Pfad ist jener, bei dem man zweimal "Kopf" wirft.

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit mithilfe der 1. Pfadregel: $$P(Kopf\cap Kopf)=P(Kopf)\cdot P(Kopf)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\underline{\underline{\frac{1}{4} } }$$

2. Pfadregel (Additionsregel)

Merke

Die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum gesuchten Ergebnis führen, werden addiert (dies ist die Additionsregel (auch "ODER-Regel" genannt).

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen einer Münze mindestens einmal "Kopf" erscheint.

Zuerst markieren wir im Baumdiagramm wieder alle Pfade, bei denen man mindestens einmal Kopf erhält. Davon gibt es insgesamt 3:

Bei allen 3 rot markierten Pfaden kommt mindestens einmal "Kopf"

Mithilfe der 1. und 2. Pfadregel erhält man nun die Gesamtwahrscheinlichkeit für "mind. einmal Kopf":

$\begin{align} P(mind. \ einmal\ Kopf)&\underbrace{=}_{\textrm{1. Pfadregel} } & P(Kopf\cap Kopf)+P(Kopf\cap Zahl)+P(Zahl \cap Zahl)\\ &\underbrace{=}_{\textrm{2. Pfadregel} }& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\% \end{align}$

Einfacher wäre es hier natürlich mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit gegangen: $$P(mind. \ einmal\ Kopf)=1-P(niemals\ Kopf)=1-P(Zahl\cap Zahl)\underbrace{=}_{\textrm{1. Pfadregel} }1-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\%$$ Hierbei zieht man vom sicheren Ergebnis jenen Pfad ab, der NICHT zum gesuchten Ergebnis führt.

Beispiele

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Zusatz: Das Ziegenproglem