Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Vorlage:Beispiel|1=f(x)= x^3/3-x^2+7/3|2=A=F-f}} | {{Vorlage:Beispiel|1=f(x)= x^3/3-x^2+7/3|2=A=F-f}} | ||
| − | + | $\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}3+\frac{7}{3x}$ | |
| − | = | + | |
| + | $\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$ | ||
$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx | $$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx | ||
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| − | $$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) = \frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$ | + | $$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1)$$ |
| + | $$=\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$ | ||
$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$ | $=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$ | ||
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$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$ | $=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$ | ||
| − | $=\frac{63}{12} | + | $=\frac{63}{12}$ |
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| + | $=5,25$ | ||
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$A\Box=3*1=3$ | $A\Box=3*1=3$ | ||
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$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$ | $A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$ | ||
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==Lernvideo== | ==Lernvideo== | ||
{{#ev:youtube|http://youtu.be/iyLea1u-kd8}} | {{#ev:youtube|http://youtu.be/iyLea1u-kd8}} | ||
Version vom 2. Oktober 2014, 08:31 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Berechnung der Fläche zwischen zwei Kurven
Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven?
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Zuerst wird die Fläche zwischen dem oberen Graphen und der x-Achse berechnet, dann wird die Fläche zwischen dem unteren Graphen und der x-Achse berechnet. Anschließend wird die Fläche des unteren Graphen von der Fläche des oberen Graphen abgezogen. |
Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?
Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunkts. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal in welche Funktion da der y-Wert bei beiden der selbe ist)
$f(x)=2x+1$
$g(x)=x−1$
Funktion gleichsetzen
$2x+1=x−1$
nach x auflösen
$2x=x−2$
$x=−2$
y-Wert
$f(-2)=2*(-2)+1$
$y=-3$
Schnittpunkt
$(-2/-3)$
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Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen in welchem Bereich wir integrieren müssen. |
Beispiele
S.30/1.031c
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.
{{Vorlage:Beispiel|1=f(x)=x^2; g(x)=4|2=$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
$f(x)=A_{\cup}$
$g(x)=A_{ \Box }$
$A_{ \Box }=a*a$
$A_{ \Box }=4*4$
$A_{ \Box }=16$
f(x) und umformen
$f(x)=x^2$
$f(x)=\frac{x^3}{3}$
$\int_{a}^{b} f (x)\,=F_b-F_a $
$F(x)=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$
$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$
$A=16-5,33=10,67$
S.30/1.034
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.
f(x)= x^3/3-x^2+7/3
$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}3+\frac{7}{3x}$
$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$
$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx $\Rightarrow x^4/3*4-x^3/3+7/3x $ $\Rightarrow F(x)= x^4/12-4x^3/12+28/12x$ $$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1)$$ $$=\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$
$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$
$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$
$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$
$=\frac{63}{12}$
$=5,25$
$A\Box=3*1=3$
$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$
$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$
