Theorie Zahlenmengen (1.1.): Unterschied zwischen den Versionen

Zahlenmengen

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

• Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
• Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen Zahlenmengen an.

Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:

die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$

Sie sind "abgeschlossen" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

Beispiel: $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden Summanden links, als auch die Summe rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.

die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "abgeschlossen" bezüglich der Addition und der Subtraktion.

Beispiele

• $-3+7=4$
• $ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert? Beispiel: $$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$ Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.

die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu $\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$ oder $$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$

die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$

Beispiele:

• $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
• $\pi =3.14159.... $
• $e =2.718...$, die eulersche Zahl
• $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von Primzahlen).

die reellen Zahlen $\mathbb{R}$

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die

1. endlichen oder unendlich periodischen und die
2. unendlichen aber niemals periodischen

so erhält man die reellen Zahlen

die imaginären Zahlen

Stoff der 2. Klasse

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die Wurzel aus negativen Zahlen berechnen.

Beispiel: $ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

Weitere Beispiele:

• $ \sqrt{-1}=i$
• $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den quadratischen Gleichungen auf, wenn die entsprechende Parabel keine Nullstelle hat.

die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$

Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

Beispiele

• 2 + 3i

(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten Realteil (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante Imaginärteil ist.

• -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
• 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
• 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)