Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Mengenoperationen)
(→‎Teilmenge und leere Menge)
 
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Einleitung
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= Was ist eine Menge =
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== Was ist eine Menge ==
 
== Was ist eine Menge ==
 
   
 
   
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! Übung zur Definition einer Menge
 
! Übung zur Definition einer Menge
 
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| <ggb_applet width="600" height="450" version="5.0" id="vqdvK5WA " />  
 
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| Quelle: [https://www.geogebra.org/michael.ruhrlaender Michael Ruhrländer]
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| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/vqdvK5WA hier]
 
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== Darstellung von Mengen ==
 
== Darstellung von Mengen ==
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=== Mengen-/Venn-Diagramme ===
 
=== Mengen-/Venn-Diagramme ===
 
Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Venn John Venn] eingeführt wurde.
 
Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Venn John Venn] eingeführt wurde.
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[[Datei:venn1.png|thumb|center|300px|Darstellung eines Venn-Diagramms der Menge A={a, b, c, d, e, f}]]
  
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[[Datei:bsp1-mengenl.png|thumb|300px|center|Venn-Diagramm der Menge A.]]
 
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! aufzählendes Verfahren !! Mengendiagrammm !! beschreibendes Verfahren
 
! aufzählendes Verfahren !! Mengendiagrammm !! beschreibendes Verfahren
 
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| M={Frühlich, Sommer, Herbst, Winter} || Bild ||M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres.
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| M={Frühling, Sommer, Herbst, Winter} || [[Datei:bsp2-mengenl.png|center|200px]]||M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres.
 
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| B={1,2,3,4,5} || Bild || $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$  
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| B={1,2,3,4,5} || [[Datei:bsp3-mengenl.png|200px|center]]|| $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$  
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$$\textrm{"B ist die Menge aller natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$
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$$\textrm{"B ist die Menge aller x aus den natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$
 
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= Mengenoperationen =
 
== Mengenoperationen ==
 
== Mengenoperationen ==
 
=== Teilmenge und leere Menge ===
 
=== Teilmenge und leere Menge ===
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[[Datei:intro-teilmenge.png|thumb|300px|right|$B\subseteq A$, d.h. B ist Teilmenge von A]]
 
Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:
 
Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:
  
 
{{Vorlage:Definition|1=
 
{{Vorlage:Definition|1=
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Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist.<br />
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Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus B auch ein Element aus A ist.<br />
 
Formal: $B \subseteq A$
 
Formal: $B \subseteq A$
  
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Graphik von Franz
 
 
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$$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$  
 
$$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$  
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[[Datei:bsp-teilmenge.png|thumb|center|300px|Die Teilmenge B beinhaltet einen Teil der Elemente aus A.]]
 
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{| border=1  align=center
 
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! Übung zur Definition einer Menge
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! Übung zur Definition einer Teilmenge
 
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| Quelle: [https://www.geogebra.org/michael.ruhrlaender Michael Ruhrländer]
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| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/fDwRG8UU hier]
 
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Beispiele
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=== Durchschnitt von Mengen: "und"-Operation ===
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[[Datei:intro-schnitt.png|thumb|300px|right|Die Schnittmenge $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente, die in beiden Mengen liegen.]]
  
  
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=== Komplementärmenge $\bar{A}$ ===
 
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=== Durchschnitt von Mengen - "und"-Operation ===
 
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Bild
 
 
{{Vorlage:Definition|1= Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind}}
 
{{Vorlage:Definition|1= Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind}}
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{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M.  
 
{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M.  
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Somit gilt:  
 
Somit gilt:  
 
$$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$
 
$$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$
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[[Datei:bsp-schnitt.png|thumb|300px|center|Schnittmenge $A\cap B$]]
  
 
'''Interpretiere die Durschnittsmenge.'''
 
'''Interpretiere die Durschnittsmenge.'''
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! Übung zur Definition einer Menge
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! Übung zur Schnittmenge
 
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| Quelle: [https://www.geogebra.org/michael.ruhrlaender Michael Ruhrländer]
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| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/cVxHFGxn hier]
 
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=== Vereinigung von Mengen - "oder"-Operation ===
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=== Vereinigung von Mengen: "oder"-Operation ===
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[[Datei:intro-vereinigung.png|thumb|300px|right|Die Vereinigungsmenge $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente, die in einer der beiden oder in beiden Mengen liegen.]]
 
{{Vorlage:Definition|1= Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
 
{{Vorlage:Definition|1= Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
 
* in $A$ enthalten oder
 
* in $A$ enthalten oder
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{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M.  
 
{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M.  
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Somit gilt:  
 
Somit gilt:  
 
$$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$
 
$$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$
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[[Datei:bsp-vereinigung.png|thumb|300px|center|In der Vereinigungsmenge $A\cup B$ liegen alle Elemente aus $S$ und $M$.]]
  
  
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! Übung zur Definition einer Menge
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! Übung zur Vereinigungsmenge
 
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| Quelle: [https://www.geogebra.org/michael.ruhrlaender Michael Ruhrländer]
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| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/Ceg5W2WS hier]
 
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=== Differenzen von Mengen: "ohne"-Operation ===
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[[Datei:intro-differenz.png|thumb|300px|right|Differenzenmenge $A\setminus B$ ("A ohne B")]]
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=== Differenzen von Mengen - "ohne"-Operation ===
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{{Vorlage:Definition|1=
 
{{Vorlage:Definition|1=
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{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M.  
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{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmvereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M.  
 
$$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$
 
$$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$
 
$$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
 
$$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$
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'''Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$'''
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'''Bestimme die Differenzenmenge $S\setminus M$'''
  
 
Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind.  
 
Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind.  
 
Somit gilt:  
 
Somit gilt:  
 
$$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$
 
$$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$
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[[Datei:bsp-differenz.png|thumb|center|300px|In der Differenzenmenge $S\setminus M$ sind alle Elemente aus $S$, die nicht in $M$ sind.]]
  
  
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! Übung zur Definition einer Menge
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! Übung zur Differenzenmenge
 
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| <ggb_applet width="788" height="300" version="5.0" id="m8YW2SjK " />  
 
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| Quelle: [https://www.geogebra.org/michael.ruhrlaender Michael Ruhrländer]
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| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/m8YW2SjK hier
 
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=== Komplementärmenge $\bar{A}$  - "alles außer"-Operation===
  
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=== Überblick ===
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[[Datei:intro-kompl.png|thumb|300px|right|$\bar{B}=A\setminus B$]]
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{{Vorlage:Definition|1= Gegeben sei eine Menge $A$ und eine Teilmenge $B$, mit $B\subseteq A$.
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Die '''Komplementärmenge $\bar{B}$''' beinhaltet alle Elemente, die nicht in $B$ liegen.
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$$\bar{B}=A\setminus B$$
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}}
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<br />
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<br />
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{{Vorlage:Beispiel|1= In einem Ort gibt  einen Musikverein. Die Mitglieder des Musikvereins sind in der Menge M angegeben.
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$$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$
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Die Menge $B$ ist eine Teilmenge von $M$ und beinhaltet alle Mitglieder des Vereins, die ein Blasinstrument spielen. Es gilt
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$$B=\{Anna,\  Lukas,\ Peter\}$$
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* Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$.
 +
* Interpretiere $\bar{B}$.
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'''Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$'''
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Die Menge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente von $M$, die nicht in $B$ enthalten sind.
 +
Somit gilt:
 +
$$\bar{B}=\{ Andreas,\  Julia,\ Sandra\}$$
 +
[[Datei:bsp-kompl.png|thumb|300px|center|Komplementärmenge $\bar{B}=A\setminus B$]]
 +
 
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'''Interpretiere die Menge.'''
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In $\bar{B}$ sind alle Personen des Musikvereines, die KEIN Blasinstrument.
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= Überblick und Überprüfung =
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== Überblick ==
 
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! Symbol !! Bedeutung  !! Grafik
 
! Symbol !! Bedeutung  !! Grafik
 
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| $\bar{A}$ || Komplementärmenge  <br />"alles außer A" || Bild
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| $$\subseteq$$ || Teilmenge $B\subseteq A$ <br /> "B ist Teilmenge von A" || [[Datei:intro-teilmenge.png|thumb|200px|center]]
 
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| $\cap$ || Schnittmenge $A\cap B$ <br /> "sowohl in A als auch in B" || Bild
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| $$\cap$$ || Schnittmenge $A\cap B$ <br /> "sowohl in A als auch in B" || [[Datei:intro-schnitt.png|thumb|200px|center]]
 
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| $\cup$ || Vereinigungsmenge $A\cup B$ <br /> "in A oder in B oder in beiden" || Bild
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| $$\cup$$ || Vereinigungsmenge $A\cup B$ <br /> "in A oder in B oder in beiden" || [[Datei:intro-vereinigung.png|thumb|200px|center]]
 
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| $\setminus$ || Differenzenmenge $A\setminus B$ <br /> "A ohne B" || Bild
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| $$\setminus$$ || Differenzenmenge $A\setminus B$ <br /> "A ohne B" || [[Datei:intro-differenz.png|thumb|200px|center]]
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| $$\bar{B}$$ || Komplementärmenge  <br />"alles außer B" || [[Datei:intro-kompl.png|thumb|200px|center]]
 
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https://www.geogebra.org/m/SGrUtT4h
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(Vorlage von [https://www.geogebra.org/onleindl Weindl]
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[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]  Unter [https://www.geogebra.org/m/SGrUtT4h diesem Link] findest du ein Applet, das dir noch einmal die Mengenoperationen graphisch anzeigt.
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== Test ==
 
== Test ==
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https://www.geogebra.org/m/gKqgMTxx
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! Überprüfe dein Wissen
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| <ggb_applet width="1198" height="516" version="5.0" id="gKqgMTxx " />
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| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/gKqgMTxx hier]
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== Zusammenfassung und Vertiefung ==
 
  
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=Video=
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==Video==
 
{{Vorlage:Video|UKEb8gGHrNo}}
 
{{Vorlage:Video|UKEb8gGHrNo}}
  
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| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Aufgaben|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
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== Aufgaben==
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= Aufgaben=
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http://brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_mengen_04/p0_mengen_04.htm
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== Aufgaben ==
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* http://brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_mengen_04/p0_mengen_04.htm
  
−
{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=  "URL1" "Aufgabentitel1"}}
+
*{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=  http://www.michael-leitgeb.at/srdp/beamer_view.php?coll=:teilb1;WhatsApp;b;B_356:teilb1;KP1_16_C9_08;c;KP_049:teilb1;KP1_16_C9_02;b;KP_043:teilb1;Lernen;c;B_256:teilb1;Wintersportwoche;a;B-C9_18:teilb1;Spracherwerb;a;B-C9_23:teilb1;Spielefest_1;d;B-C9_24:teilb1;Kindersport;b;B-C9_02:teilb1;Kindersport;a;B-C9_02:teilb1;Kinderhort;b;B-C9_09:teilb1;Blockfloete;d;B-C9_14&l=n "Aufgaben aus Teil B: BAKIP/BASOP"}}

Aktuelle Version vom 19. September 2016, 10:49 Uhr

Was ist eine Menge

Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Menge $A$ ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen. Die Elemente können dabei Zahlen, Objekte, Personen usw. sein.
  • Die Anzahl der Elemente in einer Menge bezeichnet man als Mächtigkeit, formal: $\vert A \vert$
  • Ist ein Element $x$ in der Menge $A$ enthalten, so gilt $x\in A$ ("$x$ ist Element von $A$")
  • Ist ein Elment $y$ NICHT in der Menge $A$ enthalten, so gilt $y\not\in A$ ("$y$ ist nicht Element von $A$")



Bsp.png

In einer Spielgruppe können die Kinder in der Menge $A$ angegeben werden: $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Geben Sie die Mächtigkeit der Menge an.

Die Mächtigkeit ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Somit ist $\vert A\vert=6$


Übung zur Definition einer Menge
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier


Darstellung von Mengen

Mengen-/Venn-Diagramme

Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker John Venn eingeführt wurde.

Darstellung eines Venn-Diagramms der Menge A={a, b, c, d, e, f}



Bsp.png

Gegeben ist die Menge $A$ mit $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Stellen Sie die Menge in einem Mengendiagramm grafisch dar.

Venn-Diagramm der Menge A.


Darstellung im aufzählenden Verfahren

Beim aufzählenden Verfahren werden die Elemente einer Menge innerhalb von so genannten Mengenklammern, $\{$ und $\}$, aufgezählt.

z.B.: $A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$


Darstellung im beschreibenden Verfahren

Beim beschreibenden Verfahren werden die gemeinsame Eigenschaft der Elemente beschrieben.

aufzählendes Verfahren Mengendiagrammm beschreibendes Verfahren
M={Frühling, Sommer, Herbst, Winter}
bsp2-mengenl.png
 M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres.
B={1,2,3,4,5}
bsp3-mengenl.png
 $$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$

$$\textrm{"B ist die Menge aller x aus den natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$

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Mengenoperationen

Teilmenge und leere Menge

$B\subseteq A$, d.h. B ist Teilmenge von A

Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:


Definition
Grün rufezeichen.png
 Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus B auch ein Element aus A ist.

Formal: $B \subseteq A$


Bsp.png

Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A=\{Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas\}$. Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.

$$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$
Die Teilmenge B beinhaltet einen Teil der Elemente aus A.


Übung zur Definition einer Teilmenge
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Eine Teilmenge jeder Menge ist die sogenannte leere Menge $\varnothing$:


Definition
Grün rufezeichen.png
 Leere Menge $\varnothing$

Die leere Menge $\varnothing$ beinhaltet kein Element, sie ist leer.

Es gilt:

  • $\varnothing=\{ \ \}$
  • $\vert \varnothing \vert=0$





Durchschnitt von Mengen: "und"-Operation

Die Schnittmenge $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente, die in beiden Mengen liegen.


Definition
Grün rufezeichen.png
 Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind






Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Durschnittsmenge.


Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$

Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die in beiden Elmenten vorhanden sind. Somit gilt: $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$

Schnittmenge $A\cap B$

Interpretiere die Durschnittsmenge.

$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$ bedeutet, dass nur Julia und Peter in beiden Vereinen Mitglieder sind.


Übung zur Schnittmenge
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier




Vereinigung von Mengen: "oder"-Operation

Die Vereinigungsmenge $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente, die in einer der beiden oder in beiden Mengen liegen.
Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
  • in $A$ enthalten oder
  • in $B$ enthalten oder
  • in $A$ und $B$ enthalten sind.






Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Vereinigungsmenge.


Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$

Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente der beiden Mengen. Somit gilt: $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$

In der Vereinigungsmenge $A\cup B$ liegen alle Elemente aus $S$ und $M$.


Interpretiere die Vereinigungsmenge.

In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.


Übung zur Vereinigungsmenge
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier




Differenzen von Mengen: "ohne"-Operation

Differenzenmenge $A\setminus B$ ("A ohne B")


Definition
Grün rufezeichen.png
 Die Differenzmenge $A\setminus B$ (sprich: „A ohne B“) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B gehören.



Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmvereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Menge $S\setminus M$.
  • Interpretiere $S\setminus M$.


Bestimme die Differenzenmenge $S\setminus M$

Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. Somit gilt: $$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$

In der Differenzenmenge $S\setminus M$ sind alle Elemente aus $S$, die nicht in $M$ sind.


Interpretiere die Menge.

In $S\setminus M$ sind alle Personen, die nur im Schwimmverein und im Musikverein sind.


Übung zur Differenzenmenge
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Komplementärmenge $\bar{A}$ - "alles außer"-Operation

$\bar{B}=A\setminus B$


Definition
Grün rufezeichen.png
 Gegeben sei eine Menge $A$ und eine Teilmenge $B$, mit $B\subseteq A$.

Die Komplementärmenge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente, die nicht in $B$ liegen. $$\bar{B}=A\setminus B$$





Bsp.png

In einem Ort gibt einen Musikverein. Die Mitglieder des Musikvereins sind in der Menge M angegeben. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ Die Menge $B$ ist eine Teilmenge von $M$ und beinhaltet alle Mitglieder des Vereins, die ein Blasinstrument spielen. Es gilt $$B=\{Anna,\ Lukas,\ Peter\}$$

  • Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$.
  • Interpretiere $\bar{B}$.


Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$

Die Menge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente von $M$, die nicht in $B$ enthalten sind. Somit gilt: $$\bar{B}=\{ Andreas,\ Julia,\ Sandra\}$$

Komplementärmenge $\bar{B}=A\setminus B$


Interpretiere die Menge.

In $\bar{B}$ sind alle Personen des Musikvereines, die KEIN Blasinstrument.


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Überblick

Symbol Bedeutung Grafik
$$\subseteq$$ Teilmenge $B\subseteq A$
"B ist Teilmenge von A"
intro-teilmenge.png
$$\cap$$ Schnittmenge $A\cap B$
"sowohl in A als auch in B"
intro-schnitt.png
$$\cup$$ Vereinigungsmenge $A\cup B$
"in A oder in B oder in beiden"
intro-vereinigung.png
$$\setminus$$ Differenzenmenge $A\setminus B$
"A ohne B"
intro-differenz.png
$$\bar{B}$$ Komplementärmenge
"alles außer B"
intro-kompl.png


$Aha!$ Unter diesem Link findest du ein Applet, das dir noch einmal die Mengenoperationen graphisch anzeigt.


Test

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