Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Definition & Darstellung von Vektoren

Definition

Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als Vektor aus $\mathbb{R^2}$ bezeichnet. Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als Vektor aus $\mathbb{R^3}$ . Ein $n$-dimensionaler Vektor wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

Da sowohl die Rechenoperationen, als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

Geometrische Darstellung von Vektoren

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:

• Darstellung als Punkt: Dabei gibt $a$ die $x$-Koordinate und $b$ die $y$-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
• Darstellung als Pfeil: Dabei gibt $a$ die $x$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die $y$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.
  

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig: Einem Zahlenpaar (= Vektor) entspricht genau ein Punkt.
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig: Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Beispiel: Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

Punktdarstellung des Vektors	Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die $z$-Koordinate des Vektors angegeben wird.

Ortsvektoren

Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1 \vert x_2 \vert ... \vert x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

Rechnen mit Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Rechnerische Addition

Merke

Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören. D. h. sie haben gleich viele Koordinaten.

Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke hier

Übung zur rechnerischen Subtraktion von Vektoren
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Geometrische Darstellung der Vektoraddition

Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$:

Punkt + Pfeil - Darstellung:	Pfeil + Pfeil - Darstellung
An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt. In unserem Beispiel wird an den Punkt $(1 \vert 2)$ ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils $(5 \vert 5)$.	Zwei Pfeile werden aneinander gehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinander gehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$.
Anmerkung: Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.	Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ.

Vektoren bestimmen: „Spitze minus Schaft“ („Ziel minus Start“)

Zwischen $2$ Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt die „Spitze minus Schaft“-Regel.
Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von $A$ nach $B$ geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt $B(3 \vert 3.5)$ entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt $A(1 \vert 0.5)$ dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3.5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3.5-0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

• Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
• Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$
  

Produkt eines Vektors mit einem Skalar

Rechnerische Multiplikation

Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer reellen Zahl $k$, einem sogenannten „Skalar“, multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

Geometrische Darstellung der Multiplikation

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles. Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

(Quelle dieses Applets)

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an (z. B. $u=a$).

Wie Vektoren zueinander stehen

Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

Definition

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich langen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile. Der Start- bzw. Endpunkt spielen dabei keine Rolle!

Merke

$2$ Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. Man sagt auch: Die Vektoren sind linear abhängig.

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge		$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge		$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
parallel (unterschiedliche Orientierung):		$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$
linear unabhängig		$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$	z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$

Betrag und Einheitsvektor

Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch Betrag eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

Der Einheitsvektor $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge $1$. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0} =\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$ bzw. $ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge $1$ besitzt.

Merke

Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

Vektoren bestimmter Länge

Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren, könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

Mittelpunkt einer Strecke

Willst du den Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:

Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), so erhältst du den Mittelpunkt. Also:

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen: $$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab Grundlagen der Vektorrechnung.

Vektoren

Normalvektoren

Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau $2$ Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser $2$ Normalvektoren.

Merke

Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor. Vertausche die Koordinaten und ändere ein Vorzeichen.

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

Merke

Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas „eigenartig“. Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären: Angenommen in einer Preisliste stehen $10$ Kugelschreiber, die jeweils $2€$ kosten und $20$ Bleistifte, die jeweils $0.50€$ kosten. In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

Produkt	Stückzahl	Preis pro Stück (in $€$)
Kugelschreiber	$10$	$2$
Bleistift	$20$	$0.50$

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert und anschließend die Summe gebildet werden. Genau das macht das Skalarprodukt: $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

Winkel zwischen zwei Vektoren

$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

bzw. $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$

Heißt es, den Winkel zwischen $2$ Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als $180°$ ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von $360°$ ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$).
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

Orthogonalitätskriterium

Merke

Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt). $$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist. $$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

Übungsaufgabe

Geraden

Darstellungsformen

Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und einen Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

Parameterdarstellung

$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$

wobei

• $X \in g$ ist ein beliebiger Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
• $P \in g$ ist ein bekannter Punkt auf der Geraden
• $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Grafik rechts $\lambda$)
• $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt („Richtungsvektor“)

Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden. (Genauere Informationen zu Ortsvektoren findest du unter Grundlagen der Vektorrechnung.)
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und $2$ Gleichungen aufzustellen: $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

Normalvektorform

Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

Allgemeine Geradengleichung

Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Geraden direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es $2$ Möglichkeiten:

1. Multiplikation mit Normalvektor: Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

2. Elimination des Parameters: Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung. Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von $x$ und $y$. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form $y=kx+d$ umformen.

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

• ident sein, d. h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.
• parallel sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
• einander schneiden, d. h. sie haben genau einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt).

Sind $2$ Geraden in Parameterdarstellung gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren.
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten $2$ Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die $2$ Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel.

Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die $2$ Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die $2$ Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in $2$ Unbekannten (die $2$ Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt.

Sind die $2$ Geraden in der allgemeinen Geradenform gegeben, so haben wir bereits $2$ Gleichungen, die wir nach $x$ und $y$ auflösen. Dieses $x$ und $y$ sind die Koordinaten des Schnittpunktes. Sollte sich keine Lösung ergeben, so schneiden sich die Geraden nicht.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von Gleichungssystemen genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

Normalabstand Punkt - Gerade

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen $Q$ und $g$ zu berechnen, gehe wie folgt vor:

Merke

1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt. 2. Schneide $g$ und $q$ und du erhältst deren Schnittpunkt $S$. 3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.

In der Grafik rechts hätten wir z. B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3|4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

Hesse'sche Abstandsformel

Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. $$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} |$$ wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge $1$) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also:

$$Q' = S + \vec{QS}$$