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| − | {{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.
| + | #WEITERLEITUNG[[Gleichungssysteme]] |
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| − | '''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''
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| − | $$ I: x+y=35 $$
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| − | $$ II: 2x+4y=94 $$
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| − | = Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
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| − | '''Beispiel:'''
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| − | $$ I: x+y=35 $$
| + | |
| − | $$ II: 2x+4y=94 $$
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| − | Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.
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| − | == Lösungsmenge $\mathbb{L}$==
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| − | Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
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| − | I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
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| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$|2=
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| − | '''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
| + | |
| − | $$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$
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| − | | + | |
| − | Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}
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| − | Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
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| − | == Lösungsverfahren ==
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| − | === Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
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| − | # Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts). | + | |
| − | # Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
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| − | # Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
| + | |
| − | # Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}
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| − | {| align="center"
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| − | |{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
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| − | $ \begin{align}
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| − | I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
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| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | |2=
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| − | '''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):
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| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
| + | |
| − | 4x&+&2y&=&94&
| + | |
| − | \end{align}$
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| − | | + | |
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| − | '''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:
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| − | | + | |
| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
| + | |
| − | 4x&+&2y&=&94&
| + | |
| − | \end{align}$
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:
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| − | | + | |
| − | $ \begin{align}
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| − | -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
| + | |
| − | 4x&+&2y&=&94& \\
| + | |
| − | \end{align}$
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| − | | + | |
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| − | '''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
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| − | | + | |
| − | $ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$
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| − | | + | |
| − | $ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
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| − | | + | |
| − | Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
| + | |
| − | $$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
| + | |
| − | Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
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| − | <br>
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| − | {| border=1
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| − | | Wichtig
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| − | | Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
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| − | |}
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | === Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ===
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| − | {{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''
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| − | | + | |
| − | 1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])
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| − | | + | |
| − | 2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.
| + | |
| − | | + | |
| − | 3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
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| − | }}
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| − | | + | |
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
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| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
| + | |
| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
| + | |
| − | \end{align}$
| + | |
| − | |2=
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| − | '''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:
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| − | | + | |
| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
| + | |
| − | I:\ \ &x &=&35-y
| + | |
| − | \end{align}$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:
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| − | | + | |
| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
| + | |
| − | II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
| + | |
| − | \end{align}$
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)
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| − | | + | |
| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
| + | |
| − | II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
| + | |
| − | 140-2y&=94&\ \vert -140\\
| + | |
| − | -2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
| + | |
| − | y&=23
| + | |
| − | \end{align}$
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
| + | |
| − | $$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
| + | |
| − | Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Graphisches Verfahren ===
| + | |
| − | [[Datei:Allgemein graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|230px|right|Der Schnittpunkt S ist die Lösung des Gleichungssystems]]
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| − | | + | |
| − | {{Vorlage:Merke|1=
| + | |
| − | '''Methode:'''
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| − | | + | |
| − | 1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.
| + | |
| − | | + | |
| − | 2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Lineare Funktionen y=kx+d]]
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| − | | + | |
| − | 3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. }}
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | <br>
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| − | {{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
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| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | I: \ x&+&y &=& 35& \\
| + | |
| − | II:\ 4x&+&2y&=&94&
| + | |
| − | \end{align}$
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| − | |2=
| + | |
| − | '''1. Schritt:''' Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.
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| − | | + | |
| − | $\begin{align}
| + | |
| − | I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\
| + | |
| − | \\
| + | |
| − | | + | |
| − | II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47}
| + | |
| − | \end{align}$
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| − | '''2. Schritt:''' Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Geraden zeichnen]])
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| − | [[Datei:Bsp graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|center|400px|Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$]]
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| − | '''3. Schritt:''' Ermitteln des Schnittpunktes.
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| − | Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die [[Lösungsmenge|Lösungsmenge $\mathbb{L}$]]$={(12\vert 23)}$.}}
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <span style="background-color:yellow"> Achtung!</span> Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
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| − | * [[GeoGebra#Schneide-Befehl | GeoGebra]] oder
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| − | * den [[Intersect-Befehl]] des TI
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| − | === Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ===
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| − | siehe [[TI-Befehle#Matrixverfahren|Matrixverfahren mit dem TR]]
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| − | === Verfahren mit GeoGebra-CAS ===
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| − | kommt bald
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| − | | + | |
| − | == Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems ==
| + | |
| − | Betrachtet man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen graphisch, indem man die Geraden zeichnen (wie beim [[Gleichungssysteme (2.7.)#graphisches Verfahren |graphischen Verfahren]]) so gibt es insgesamt drei Lösungsmöglichkeiten:
| + | |
| − | # Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt $S(x|y)\ \rightarrow$ es gibt '''eine Lösung''': $\mathbb{L}={(x|y)}$
| + | |
| − | # Die Geraden sind parallel und es gibt keinen Schnittpunkt $\rightarrow$ es gibt '''keine Lösung''': $\mathbb{L}={\ }$
| + | |
| − | # Die Geraden überlappen sich und es gibt undendlich viele Schnittpunkte $\rightarrow$ es gibt '''undendlich viele Lösungen''', die alle auf der Geraden liegen: $\mathbb{L}=\{ (x\vert y)\vert (x|y)\textrm{ erfüllt die Geradengleichung} \}$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Wie erkennen wir nun diese drei Fälle, wenn wir eines der 3 Lösungsverfahren verwenden? Die folgende Graphik zeigt dies genauer:
| + | |
| − | {| class="wikitable"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | ! $\ $ !! 1. Fall: genau eine Lösung !! 2. Fall: keine Lösung !! 3. Fall: unendlich viele Lösungen
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Beispiel: Die Gleichungen sind
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| − | | [[Lineare Abhängigkeit|Linear unabhängig]] und widerspruchsfrei: $$I:-x+y=1$$ $$II:-x-y=2$$
| + | |
| − | | widersprüchlich $$I:-x+y=1$$ $$II:-x+y=2$$
| + | |
| − | | [[Lineare Abhängigkeit|Linear abhängig]] (II ist ein Vielfaches von I):
| + | |
| − | $$I:-x+y=1$$
| + | |
| − | $$II:-2x+2y=2$$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Anzahl der Lösungen:
| + | |
| − | |Genau eine:
| + | |
| − | $x=-1.5$ und $y=-0.5$
| + | |
| − | | keine Lösung
| + | |
| − | | Unendlich viele
| + | |
| − | z.B. $(0|1);(1|2);(3|4)...$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Lösungsmenge
| + | |
| − | | $$\mathbb{L}={(-1.5|-0.5)}$$
| + | |
| − | | $$\mathbb{L}=\{\ \}$$
| + | |
| − | | $$\mathbb{L}=\{ (x|y)|-x+y=1\}$$
| + | |
| − | d.h. alle Punkte $(x|y)$, die die Gleichung $-x+y=1$ erfüllen.
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Graphisches Lösungsverfahren
| + | |
| − | | Überschrift
| + | |
| − | | Überschrift
| + | |
| − | | Überschrift
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Additions- und Einsetzungsverfahren
| + | |
| − | | $x=-1.5$ und $y=-0.5$
| + | |
| − | | eine falsche Aussage wie $0=1$ oder $4=18$...
| + | |
| − | somit gibt es keine Werte als Lösung.
| + | |
| − | |eine wahre Aussage wie $0=0$ oder $2=2$
| + | |
| − | somit ist jede Zahl (die eine der beiden Gleichungen erfüllt) eine Lösung.
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Matrixverfahren
| + | |
| − | |
| + | |
| − | {| border="1"
| + | |
| − | | $1$ ||$0$ ||$-1.5$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $0$ || $1$ ||$-0.5$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | Die unterste Zeile besteht aus:
| + | |
| − | {| border="1"
| + | |
| − | | $0$ ||$0$ ||$1$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | Somit gilt:
| + | |
| − | $0x+0y=1$ und damit
| + | |
| − | $0=1$ f.A. $\rightarrow$ es gibt keine Lösung.
| + | |
| − | | Die unterste Zeile besteht aus:
| + | |
| − | {| border="1"
| + | |
| − | | $0$ ||$0$ ||$0$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | Somit gilt:
| + | |
| − | $0x+0y=0$ und damit
| + | |
| − | $0=0$ w.A. $\rightarrow$ es gibt unendlich viele Lösungen.
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Lösung mit GeoGebra-CAS || Beispiel || Beispiel || Beispiel
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | == Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen ==
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Musterbeispiel:
| + | |
| − | Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:
| + | |
| − | | + | |
| − | $\begin{align}
| + | |
| − | I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\
| + | |
| − | II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\
| + | |
| − | III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2
| + | |
| − | \end{align}$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen bestehen.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
| + | |
| − | | + | |
| − | == Matura-Aufgaben==
| + | |
| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
| + | |
| − | *: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Lineare Funktionen]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
| + | |
| − | *: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
| + | |
| − | *: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Funktionen]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
| + | |
| − | *: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]] sowie [[Funktionen]] und für <span style="background-color:yellow"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>
| + | |
