Direkte und indirekte Proportionalität: Unterschied zwischen den Versionen
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* Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht. | * Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht. | ||
| − | * Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien (640 km) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind? | + | * Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien ($640 km$) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind? |
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| − | + | Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt. | |
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{{Vorlage:Definition|1= Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion $y=\frac{c}{x}$ mit $c\in \mathbb{R}$ beschrieben werden.}} | {{Vorlage:Definition|1= Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion $y=\frac{c}{x}$ mit $c\in \mathbb{R}$ beschrieben werden.}} | ||
== Wichtige Eigenschaften == | == Wichtige Eigenschaften == | ||
| − | * Wird x verdoppelt, so halbiert sich y. | + | * Wird $x$ verdoppelt, so halbiert sich $y$. |
| − | * Wird x halbiert, so verdoppelt sich y. | + | * Wird $x$ halbiert, so verdoppelt sich $y$. |
| − | * Multipliziert man die Werte x und y so ergibt sich immer der gleiche Wert c. | + | * Multipliziert man die Werte $x$ und $y$ so ergibt sich immer der gleiche Wert $c$. |
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==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
| + | {{Vorlage:Beispiel|1= $4$ Maurer verputzen eine Hausfassade und benötigen dafür $5$ Tage. Da aber für die nächsten Tage Regen angesetzt ist, setzte der Bauleiter insgesamt $10$ Arbeiter ein. Man nimmt an, dass jeder Maurer in gleicher Zeit gleich viel Arbeit verrichtet. | ||
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| − | Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur 0 | + | Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur $0.2 l$ pro Stunde verbraucht. |
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| − | |2= | + | Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von $0.65 l/h$ $12$ Stunden hält, sind insgesamt $12\cdot 0.65=7.8$ Liter Öl im Tank. |
| − | Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von 0 | + | |
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| − | Wenn der Ofen auf 0 | + | Wenn der Ofen auf $0.2 l/h$ gedrosselt wird, hält der Tank $7.8:0.2=39$ Stunden lang. |
| − | Der Ofen kann also 27 Stunden länger in Betrieb bleiben. | + | Der Ofen kann also $27$ Stunden länger in Betrieb bleiben. |
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| − | : Siehe auch: [[Differenzen- und Differentialquotient]] | + | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://www.mathestunde.at/pool/pdf/Beleuchtungsst%C3%A4rke-190208.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe:schwer-mittel-schwer) |
| + | : Siehe auch: [[Differenzen- und Differentialquotient]] | ||
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| − | + | * [http://LearningApps.org/view828984 Proportionalitäten 1] (LearningApps) | |
| − | + | * [http://LearningApps.org/view920351 Proportionalitäten 2] (LearningApps) | |
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| − | + | [[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]] | |
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Aktuelle Version vom 1. Februar 2021, 17:23 Uhr
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Eine direkt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit einer homogenen lineare Funktion der Form $y=k\cdot x$ mit $k \ \in \mathbb{R}$ beschrieben werden. |
Wichtige Eigenschaften
- Wird $x$ verdoppelt, so verdoppelt sich auch $y$.
- Wird $x$ halbiert, so halbiert sich auch $y$.
Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg ($330 km$) werden $29.4$ Liter Benzin verbraucht.
- Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht.
- Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien ($640 km$) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind?
Lösung
Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt.
- Für $100 km$ benötigt das Fahrzeug $x=29.4\cdot \frac{100}{330}= 8.9$ Liter.
- Für $640 km$ benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29.4\cdot \frac{640}{330}= 57$ Liter.
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Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion $y=\frac{c}{x}$ mit $c\in \mathbb{R}$ beschrieben werden. |
Wichtige Eigenschaften
- Wird $x$ verdoppelt, so halbiert sich $y$.
- Wird $x$ halbiert, so verdoppelt sich $y$.
- Multipliziert man die Werte $x$ und $y$ so ergibt sich immer der gleiche Wert $c$.
Beispiele
$4$ Maurer verputzen eine Hausfassade und benötigen dafür $5$ Tage. Da aber für die nächsten Tage Regen angesetzt ist, setzte der Bauleiter insgesamt $10$ Arbeiter ein. Man nimmt an, dass jeder Maurer in gleicher Zeit gleich viel Arbeit verrichtet.
- Begründe, warum hier eine indirekte Proportion vorliegt.
- Berechne, wie lange die $10$ Arbeiter für die Arbeit benötigen.
Lösung:
- Wenn für die Erledigung der Arbeit doppelt so viele Maurer zur Verfügung stehen, benötigen die Maurer die halbe Zeit.
- $4$ Maurer benötigen $5$ Tage, also benötigt $1$ Maurer $4 \cdot 5=20$ Tage. $10$ Maurer brauchen dann $20 : 10 =2$ Tage für diese Arbeit.
Ein Vorrat an Heizöl reicht $12$ Stunden, wenn der Verbrauch $0.65$ Liter pro Stunde beträgt.
Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur $0.2 l$ pro Stunde verbraucht.
Lösung:
Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von $0.65 l/h$ $12$ Stunden hält, sind insgesamt $12\cdot 0.65=7.8$ Liter Öl im Tank.
Wenn der Ofen auf $0.2 l/h$ gedrosselt wird, hält der Tank $7.8:0.2=39$ Stunden lang.
Der Ofen kann also $27$ Stunden länger in Betrieb bleiben.
- $Bifie$ : Beleuchtungsstärke (bifie-Aufgabe:schwer-mittel-schwer)
- Siehe auch: Differenzen- und Differentialquotient
- Proportionalitäten 1 (LearningApps)
- Proportionalitäten 2 (LearningApps)
