Inhalt:Wendepunkt und Wendetangente: Unterschied zwischen den Versionen

Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$: $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$ $$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f''(x)=2x-8$$ $$f'''(x)=2$$

Nun setzen wir die zweite Ableitung $= 0$:

$$f''(x)=2x-8$$ $$0=2x-8$$ $$x=4$$

Somit ist die Stelle $x=4$ ein möglicher Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den $x$-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:

Graph mit Wendepunkt

$$f'''(x)=2$$ Da die dritte Ableitung konstant $=2$ ist (d. h. für alle $x$ den Wert $2$ hat), gilt insbesondere $$f'''(4)=2\ne 0$$ Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.

Um die $y$-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein, und erhalten: $$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$

Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.

$\rightarrow$ Siehe hier auch: Bestimmen der Tangente

Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:

1. den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
2. die Steigung der Wendetangente - diese berechnen wir jetzt:

Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$:

$$f'(x)=x^2-8x+7$$ $$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$ $$f'(4)=-9$$

Somit ist $k=-9$

Graph mit Wendepunkt und Wendetangente

Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten: $$y=kx+d$$ $$15.33=-9\cdot 4+d$$ $$d=51.33$$

Somit lautet die Gleichung der Wendetangente: $$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$