Änderungsmaße: Unterschied zwischen den Versionen
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- $\quad$ $f(b)-f(a) \quad \quad$ als absolute Änderung von $f$ in $[a; b]$. | - $\quad$ $f(b)-f(a) \quad \quad$ als absolute Änderung von $f$ in $[a; b]$. | ||
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| − | - $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)} \qquad \ | + | - $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)} \qquad \ \$ als relative Änderung von $f$ in $[a; b]$. |
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- $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}\cdot 100 \quad$ als prozentuelle Änderung von $f$ in $[a; b]$. | - $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}\cdot 100 \quad$ als prozentuelle Änderung von $f$ in $[a; b]$. | ||
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- $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \qquad \quad$ als mittlere Änderungsrate (oder [[Differenzen- und Differentialquotient|Differenzenquotient]]) von $f$ in $[a; b]$. <br> | - $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \qquad \quad$ als mittlere Änderungsrate (oder [[Differenzen- und Differentialquotient|Differenzenquotient]]) von $f$ in $[a; b]$. <br> | ||
| − | - $\quad$ $\frac{f(b)}{f(a)} \qquad \quad \quad$ als Änderungsfaktor von $f$ in $[a; b]$. | + | - $\quad$ $\frac{f(b)}{f(a)} \qquad \quad \quad \quad$ als Änderungsfaktor von $f$ in $[a; b]$. |
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Version vom 17. Juli 2019, 11:45 Uhr
Änderungsmaße
Möchte man Daten miteinander vergleichen oder Änderungen von Größen beschreiben, so können sogenannte Änderungsmaße verwendet werden.
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Änderungsmaße Sei $f$ eine reelle Funktion, die auf dem Intervall $[a; b]$ definiert ist. Dann bezeichnet man die reelle Zahl
- $\quad$ $f(b)-f(a) \quad \quad$ als absolute Änderung von $f$ in $[a; b]$.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\frac{x^2}{2}+3$.
[[Datei:Aenderungsmaße.png|thumb|center|300px|Der Graph der Funktion $f(x)=\frac{x^2}{2}+3$]]
(1) '''Absolute Änderung:''' $f(b)-f(a)=f(4)-f(2)=\frac{4^2}{2}+3-(\frac{2^2}{2}+3)=(8+3)-(2+3)=6$
Der Funktionswert nimmt in diesem Intervall absolut um $6$ zu. (2) '''Relative''' und (3) '''prozentuelle Änderung:''' $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}=\frac{f(4)-f(2)}{f(2)}=\frac{6}{5}=1.2\Rightarrow 1.2\cdot 100=120 %$ Der Funktionswert nimmt in diesem Intervall um $120%$ zu. (4) '''Änderungsfaktor:''' $\frac{f(b)}{f(a)}=\frac{4}{2}=\frac{11}{5}=2.2$ Man muss $f(2)$ mit $2.2$ multiplizieren um $f(4) zu erhalten.
Eine Funktion $s:[0;6]\rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt den von einem Radfahrer innerhalb von $t$ Sekunden zurückgelegten Weg.
$\frac{s(6)-s(0)}{6-0}=\frac{30-0}{6}=5$
Interpretation: Die mittlere (durchschnittliche) Geschwindigkeit des Radfahrers im Zeitintervall $[0;6]$ Sekunden beträgt $5 m/s$. }}
Aufgrund einer Beförderung erhöht sich das Gehalt eines Angestellten von $2 400€$ auf $2 760€$.
Lösungsansatz mithilfe der relativen bzw. prozentuellen Änderung: $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}=\frac{\text{Endgehalt}-\text{Ausgangsgehalt
Sein Gehalt ist somit um $15%$ gestiegen.
Lösungsansatz mithilfe des Änderungsfaktors: $\frac{f(b)}{f(a)}=\frac{\text{Endgehalt}}{\text{Ausgangsgehalt}}=\frac{2 760€}{2 400€}=1.15
Die Aufgabe kann somit sowohl mit der relativen bzw. prozentuellen Änderung, als auch mit dem Änderungsfaktor gelöst werden. }} |
