Potenzen: Unterschied zwischen den Versionen

[+/-]

Widgets

Widgets

Gewünschte Seiten
  • Keine Informationen verfügbar
Wer ist online?
  • Es ist niemand angemeldet.
Aus Matura Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Alle Regeln auf einen Blick)
(→‎Alle Regeln auf einen Blick)
Zeile 200: Zeile 200:
 
== Alle Regeln auf einen Blick ==
 
== Alle Regeln auf einen Blick ==
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
 +
||1. Regel|| $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$||Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''multipliziert''', indem man die '''Exponenten addiert'''.
 
|-
 
|-
−
| 1. Regel || $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$||Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''multipliziert''', indem man die '''Exponenten addiert'''.  
+
| 2. Regel|| $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ || Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''dividiert''', indem man die '''Exponenten subtrahiert'''.  
 
|-
 
|-
−
| 2. Regel || $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ || Potenzen mit '''derselben Basis''' werden '''dividiert''', indem man die '''Exponenten subtrahiert'''.  
+
| 3. Regel|| $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ || Potenzen werden '''potenziert''' ("''hoch-genommen''"), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.  
 
|-
 
|-
−
| 3. Regel || $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ || Potenzen werden '''potenziert''' ("''hoch-genommen''"), indem man die '''Exponenten multipliziert'''.  
+
| 4. Regel|| $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ || Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
 
|-
 
|-
−
| 4. Regel || $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ || Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
+
| 5. Regel|| $a^{-n}=\frac{1}{a^n}  \ \text{und} \ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ ||
−
|-
+
−
| 5. Regel || $a^{-n}=\frac{1}{a^n}  \ \text{und} \ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ ||
+
 
Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
 
Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
 
|-
 
|-
−
| 6. Regel || $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n  \ \text{und} \  \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ ||
+
| 6. Regel|| $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n  \ \text{und} \  \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ ||
 
Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''"hoch-nimmt"'').   
 
Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden [[Faktor]] mit dem Exponenten potenziert (''"hoch-nimmt"'').   
 
|-
 
|-
−
| 7. Regel || $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ ||
+
| 7. Regel|| $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ ||
 
Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
 
Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.
 
|}
 
|}

Version vom 16. September 2018, 18:13 Uhr

Definition

Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:

Aufbau einer Potenz


Beispiele:

  • $2^3$
  • $5^x$
  • $x^{-2}$
  • $c^{b+a}$

Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ $\mathbb{R}$.

Rechnen mit Potenzen

Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ vereinfachen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:


Potenzregel 1

Merke
Rotes rufezeichen.png
 1. Regel der Potenzrechnung

Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
$$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$


Beweis für diese Regel

$a^n\cdot a^m=\left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n-mal}\right)\cdot \left(\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal}\right)$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n+m-mal}=a^{n+m}$


Musterbeispiele:

Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:

Bsp.png

$x^3\cdot x^2=$

$x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5$


Bsp.png

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=$

$2^4\cdot 2^3\cdot b^2=2^{4+3}\cdot b^3=2^7\cdot b^3=128\cdot b^2$

Achtung! Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da $2$ und $b$ unterschiedliche Basen sind.


Potenzregel 2

Merke
Rotes rufezeichen.png
 2. Regel der Potenzrechnung

Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
$$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$


Beweis für diese Regel

Nehmen wir einfachheitshalber an, dass $n>m$ ist:

$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt $m$ Stück $a$ gekürzt werden.}$

$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$


Musterbeispiele:

Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:

Bsp.png

$\frac{x^3}{x^2}=$

$\frac{x^3}{x^2}=x^{3-2}=x^1=x$


Bsp.png

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$

$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=2^{4+3-5}=2^2=4$


Potenzregel 3

Merke
Rotes rufezeichen.png
 3. Regel der Potenzrechnung

Potenzen werden potenziert („hoch-genommen“), indem man die Exponenten multipliziert.
$$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$$


Beweis für diese Regel

$\left(a^n\right)^m = \underbrace{\left(a^n\right) \cdot \left(a^n\right) \cdot . . . \cdot \left(a^n\right)}_{m-mal}$

$\overset{(Regel \ 1)}{=}$ $a^{\overbrace{n+n+. . . +n}^{m-mal} }=a^{n \cdot m}$


Musterbeispiele:

Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:

Bsp.png

$\left(x^3\right)^2=$

$\left(x^3\right)^2=x^{3\cdot 2}=x^6$


Bsp.png

$\left(x^{-3}\right)^2=$

$\left(x^{-3}\right)^2=x^{-6}$


Potenzregel 4

Merke
Rotes rufezeichen.png
 4. Regel der Potenzrechnung

Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a$ ungleich $0$ ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere Informationen zu $0^0$ findest du hier.
$$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$$


Beweis für diese Regel

$a^0=a^{n-n} \overset{Regel \ 2}{=} \frac{a^n}{a^n} \overset{kürzen}{=} 1$


Musterbeispiele:

Wende die 4. Regel der Potenzrechnung an:

Bsp.png

$x^0=$

$x^0=1$


Bsp.png

$12341234^0=$

$12341234^0=1$


Potenzregel 5

Merke
Rotes rufezeichen.png
 5. Regel der Potenzrechnung

Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den Kehrwert bildet.
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.
$$\frac{1}{a^{-n} }=a^n$$


Beweis für diese Regel

$a^{-n}=a^{0-n} \overset{(Regel \ 2)}{=} \frac{a^0}{a^{n} } \overset{(Regel \ 4)}{=} \frac{1}{a^n} $


Musterbeispiele:

Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:

Bsp.png

$\frac{x^2}{x^{-3} }=$

$\frac{x^2}{x^{-3} }\underbrace{=}_{5.\ Regel}\frac{x^2\cdot x^3}{1}\underbrace{=}_{1.\ Regel} x^5$


Bsp.png

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$

$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=\frac{x^2\cdot x^3\cdot y^2\cdot y^{-1}\cdot y^{-3} }{1}=x^5\cdot y^{-2}$

Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 5) und dann Regel 1 zu verwenden.


Potenzregel 6

Merke
Rotes rufezeichen.png
 6. Regel der Potenzrechnung

Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert („hoch-nimmt“).
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ \text{und} \ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$


Beweis für diese Regel

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot . . . \cdot (a \cdot b)}_{n-mal}$

$\overset{(Vertauschungsgesetz)}{=} \underbrace{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}_{n-mal} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}_{n-mal}$ $=a^n\cdot b^n$


Musterbeispiele:

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

Bsp.png

$(x\cdot y)^3=$

$(x\cdot y)^3=x^3\cdot y^3$


Bsp.png

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=$

$(x^2\cdot y^3)^{-4}=(x^2)^{-4}\cdot (y^3)^{-4}=x^{-8}\cdot y^{-12}$



Bsp.png

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$

$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)=$

Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der Bruchrechnung dividiert wird, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: $\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$ Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an: $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $ $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$



Bsp.png

$(2x)^3-2x^3=$



$(2x)^3-2x^3=8x^3-2x^3=6x^3$


Potenzregel 7

Merke
Rotes rufezeichen.png
 7. Regel der Potenzrechnung

Der Wurzelexponent $n$ kann als Nenner des Exponenten angeschrieben werden.
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$$


Beweis für diese Regel

Wurzelziehen und Potenzieren sind Umkehroperationen. Daraus folgt:

${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$. Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$ Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.


Musterbeispiele:

Wende die Regeln der Potenzrechnung an:

Bsp.png

$\sqrt[3]{5}=$

$\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3} }$


Bsp.png

$\sqrt[3]{5^{12} }=$

$\sqrt[3]{5^{12} }=5^{\frac{12}{3} }=5^{4}=625$


Bsp.png

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }= \frac{2}{x^{\frac{2}{3} } }= 2\cdot x^{-\frac{2}{3} }$


Zusammenfassungs-Video

Alle Regeln auf einen Blick

1. Regel $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
2. Regel $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
3. Regel $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ Potenzen werden potenziert ("hoch-genommen"), indem man die Exponenten multipliziert.
4. Regel $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ Eine Zahl $a$ hoch $0$ ergibt immer $1$, solange $a \neq 0$ ist.
5. Regel $a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ \text{und} \ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$

Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

6. Regel $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ \text{und} \ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert ("hoch-nimmt").

7. Regel $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$

Der Wurzelexponent $n$ kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden.

Weitere Aufgaben

Vereinfache den Term so weit wie möglich:

Bsp.png

$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y{-4}\right) ^2}=$

Lösung:

$$\frac{\left(-x^2\cdot (-5)\cdot y^{-4}\right)^4}{\left(3\cdot x^{-5}\cdot 3\cdot y{-4}\right) ^2}$$ Zuerst wenden wir die Regel 6 an und bringen die Zahlen ganz nach vor. Wichtig ist dabei, dass die negativen Vorzeichen in der Basis verschwinden, wenn mit einem geraden Exponenten potenziert wird, da z. B. $(-x^2)^4=(-x^2)\cdot (-x^2) \cdot (-x^2) \cdot (-x^2) =+x^8$ ist: $$\frac{(-5)^4\cdot x^8\cdot y^{-16} }{3^2\cdot 9^2\cdot x^{-10}\cdot y^{-8} }$$ Nun bringen wir alle Potenzen mit einer Variablen hinauf in den Zähler und verwenden dabei die Regel 5: $$\frac{625\cdot x^8\cdot x^{10}\cdot y^{-16}\cdot y^8 }{81}$$ Nun wenden wir Regel 1 an: $$\frac{625 \cdot x^{18}\cdot y^{-8} }{81}$$ Formen wir das noch um, ergibt sich: $$\frac{625\cdot x^{18} }{81\cdot y^{8} }$$


Interaktiver Test

Interkativer Test
Quelle: Michael Ruhrländer
Von „https://3.vobs.at/maturawiki/index.php?title=Potenzen&oldid=6300“