Matrizen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | Die Matrizenrechnung ist ein nützliches Werkzeug, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungen zu lösen oder auch um Tabellen übersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenhänge zwischen mehreren Größen herzustellen. | |
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a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} | a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} | ||
− | \end{pmatrix} | + | \end{pmatrix} \quad \in \mathbb{R}^{m \times n} \qquad \forall m,n \in \mathbb{N} |
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Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.}} | Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.}} | ||
− | {{Vorlage:Merke|1=Eine [[quadratische Matrix|quadratische Matrix]] hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, also $m=n$. Damit ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung | + | {{Vorlage:Merke|1=Eine [[quadratische Matrix|quadratische Matrix]] hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, also $m=n$. Damit ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung haben kann, muss die Matrix $A$ quadratisch sein, das heißt gleich viele Gleichungen wie Unbekannte haben.}} |
{{Vorlage:Definition|1=Nullmatrix | {{Vorlage:Definition|1=Nullmatrix | ||
− | Die [[Nullmatrix|Nullmatrix]] | + | Die [[Nullmatrix|Nullmatrix]] $=_n$ ist wie folgt definiert: |
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{{Vorlage:Definition|1=Einheitsmatrix | {{Vorlage:Definition|1=Einheitsmatrix | ||
− | Die [[Einheitsmatrix|Einheitsmatrix]] hat nur in der [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonale]] (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich überall Nullen. Zudem ist sie eine quadratische Matrix. | + | Die [[Einheitsmatrix|Einheitsmatrix]] $I_n$ hat nur in der [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonale]] (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich überall Nullen. Zudem ist sie eine quadratische Matrix. |
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Die Einheitsmatrix wird benötigt, um ein lineares Gleichungssystem in Matrixform zu lösen und um die Inverse einer Matrix zu definieren, also $ A\cdot B = I =B \cdot A$. | Die Einheitsmatrix wird benötigt, um ein lineares Gleichungssystem in Matrixform zu lösen und um die Inverse einer Matrix zu definieren, also $ A\cdot B = I =B \cdot A$. | ||
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==Rechenregeln== | ==Rechenregeln== | ||
− | {{Vorlage:Merke|1= Bei der [[Addition|Addition]] von Matrizen, werden die | + | {{Vorlage:Merke|1= Bei der [[Addition|Addition]] von Matrizen, werden die gleichen Komponenten miteinander addiert. |
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− | In einem Gozinto-Graphen kann dies wie | + | In einem Gozinto-Graphen kann dies, wie rechts unten zu sehen ist, dargestellt werden: |
[[Datei:inpuoutput.pdf|400px|mini|Gozintograph des Input-Output-Modells]] | [[Datei:inpuoutput.pdf|400px|mini|Gozintograph des Input-Output-Modells]] | ||
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− | Euklidische Koordinaten werden wie folgt in homogenen Koordinaten umgeschrieben | + | Euklidische Koordinaten in $\mathbb{R}^3$ werden wie folgt in homogenen Koordinaten umgeschrieben |
$$\begin{pmatrix} | $$\begin{pmatrix} | ||
x\\ y\\ z | x\\ y\\ z |
Version vom 20. Mai 2017, 15:45 Uhr
Die Matrizenrechnung ist ein nützliches Werkzeug, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungen zu lösen oder auch um Tabellen übersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenhänge zwischen mehreren Größen herzustellen.