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| − | In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
| + | #WEITERLEITUNG[[Trigonometrie]] |
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| − | Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
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| − | # [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen. | + | |
| − | # [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
| + | |
| − | # [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
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| − | # [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
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| − | # [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.
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| − | Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]
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| − | == Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==
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| − | === Begriffe ===
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| − | [[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]
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| − | Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).
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| − | * Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
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| − | * Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
| + | |
| − | : * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
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| − | : * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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| − | === Sinus, Cosinus und Tangens ===
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| − | | '''Definition'''
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| − | * Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
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| − | |$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
| + | |
| − | |-
| + | |
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| − | * Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
| + | |
| − | |$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | |
| + | |
| − | * Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
| + | |
| − | |$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | </p>
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| − | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#7CFC00"> $Aha!$ </span>]]
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| − | Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
| + | |
| − | :[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].
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| − | {|
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| − | |-
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| − | | <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
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| − | === Steigung und Steigungswinkel ===
| + | |
| − | [[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
| + | |
| − | Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
| + | |
| − | | + | |
| − | $$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
| + | |
| − | Somit erhalten wir die Formel:
| + | |
| − | | + | |
| − | {| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| + | |
| − | | $$k=\tan \alpha$$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
| + | |
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| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
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| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
| + | |
| − | - Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
| + | |
| − | | + | |
| − | - Bestimmen Sie
| + | |
| − | * a) den Steigungswinkel
| + | |
| − | * b) die prozentuelle Steigung
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | [[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
| + | |
| − | a) Berechnung des Steigungswinkels:
| + | |
| − | | + | |
| − | $\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | $\alpha = 8.05°$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
| + | |
| − | $$k=\ tan\ \alpha$$
| + | |
| − | $$k=\tan \ 8.05°$$
| + | |
| − | $$k=0.14=14 \ \%$$
| + | |
| − | A: Die Steigung beträgt 14 %.
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| − | === Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===
| + | |
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| − | * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]
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| − | | + | |
| − | * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]
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| − | | + | |
| − | * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]
| + | |
| − | | + | |
| − | * [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]
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| − | | + | |
| − | * [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]
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| + | |
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| − | == Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
| + | |
| − | === Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]
| + | |
| − | | + | |
| − | Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
| + | |
| − | $$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$
| + | |
| − |
| + | |
| − | Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''
| + | |
| − | | + | |
| − | So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Eine volle Umdrehung hat 360°
| + | |
| − | * Eine halbe Umdrehung hat 180°
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''
| + | |
| − | | + | |
| − | Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
| + | |
| − | * Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.
| + | |
| − | | + | |
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| − | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#7CFC00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
| + | |
| − | [http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].
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| − | {| border="1"
| + | |
| − | |'''Merke:'''
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| − | |
| + | |
| − | {|
| + | |
| − | | Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
| + | |
| − | | + | |
| − | a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.
| + | |
| − | | + | |
| − | b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> Lösung </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | a) Grad- in Bogenmaß:
| + | |
| − | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$
| + | |
| − | | + | |
| − | b) Bogen- in Gradmaß:
| + | |
| − | $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
| + | |
| − | $$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
| + | |
| − | $$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$
| + | |
| − | | + | |
| − | A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | === Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ====Theorie====
| + | |
| − | Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | * Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
| + | |
| − | | + | |
| − | * Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | '''für den Sinus:'''
| + | |
| − | Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.
| + | |
| − | | + | |
| − | Zu zeigen ist nun:
| + | |
| − | $$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | '''Beweis:'''
| + | |
| − | $$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
| + | |
| − | Somit gilt:
| + | |
| − | $$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#7CFC00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ====Wichtige Werte====
| + | |
| − | Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:
| + | |
| − | | + | |
| − | {| border="1" align="center"
| + | |
| − | |
| + | |
| − | | Sinus
| + | |
| − | | Cosinus
| + | |
| − | | Tangens
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Gradmaß: 90°
| + | |
| − | Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| + | |
| − | | 1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | nicht definiert
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 180°
| + | |
| − | $\pi$ rad
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | -1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 270°
| + | |
| − | $\frac{3\pi}{2}$ rad
| + | |
| − | | -1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | nicht definiert
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | 0° und 360°
| + | |
| − | 0 rad und $2\pi$ rad
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | | 1
| + | |
| − | | 0
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | == Trigonometrische Funktionen ==
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#7CFC00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===
| + | |
| − | | + | |
| − | Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
| + | |
| − | Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
| + | |
| − | Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:
| + | |
| − | | + | |
| − | [[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
| + | |
| − | | + | |
| − | <span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| + | |
| − | | + | |
| − | # Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
| + | |
| − | # Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
| + | |
| − | # Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
| + | |
| − | # Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | </div>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | <br>
| + | |
| − | | + | |
| − | == Das allgemeine Dreieck ==
| + | |
| − | [[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]
| + | |
| − | | + | |
| − | Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.
| + | |
| − | | + | |
| − | Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:
| + | |
| − | | + | |
| − | a) den Sinussatz
| + | |
| − | | + | |
| − | b) den Cosinussatz und
| + | |
| − | | + | |
| − | c) die allgemeinen Flächenformeln
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).
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| − | === Sinussatz ===
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| − | {| align="right"
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| − | |{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
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| − | Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck
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| − | 1. eine Seite '''und'''
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| − | 2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''
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| − | 3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.
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| − | {| style="color:red;" border="1" align="center"
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| − | | '''Formel für den Sinussatz'''
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| − | | $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
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| − | Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:
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| − | === Cosinussatz ===
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| − | {| style="color:red;" border="1" align="center"
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| − | !| Formeln für den Cosinussatz
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| − | *$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
| + | |
| − | * $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
| + | |
| − | * $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
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| − | Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:
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| − | : a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''
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| − | : b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.
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| − | {| border="1" align="center"
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| − | !| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.
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| − | :: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
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| − | :: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
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| − | {| align="center"
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| − | | [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
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| − | | [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
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| − | === Beispiele ===
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| − | * [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]
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| − | == Vermessungsaufgaben ==
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| − | === Begriffe ===
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| − | [[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]
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| − | | + | |
| − | * '''Höhenwinkel'''
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| − | Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".
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| − | | + | |
| − | | + | |
| − | * '''Tiefenwinkel'''
| + | |
| − | Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | * '''Sehwinkel'''
| + | |
| − | Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".
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| − | === Beispiele ===
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| − | * [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]
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| − | == Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
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| − | {| border="1" align="center"
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| − | |-
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| − | |
| + | |
| − | | rechtwinkliges Dreieck
| + | |
| − | | allgemeines Dreieck
| + | |
| − | | + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Winkelsumme
| + | |
| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| + | |
| − | | $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Pythagoras
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| − | | $H^2=GK^2+AK^2$
| + | |
| − | | gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | Flächeninhalt
| + | |
| − | | $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| + | |
| − | | $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
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| − | |-
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| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
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| + | |
| − | | $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
| + | |
| − | |-
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| − | | [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
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| − | |
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| − | | $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
| + | |
| − | $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$
| + | |
| − | | + | |
| − | $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
| + | |
| − | |}
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| − | == Matura-Aufgaben ==
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
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| − | : Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
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| − | : Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
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| − | : Siehe auch [[Lineare Funktionen]]
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
| + | |
| − | : Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
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| − | : Siehe auch
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| − | : * [[Beschreibende Statistik]]
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| − | : * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
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| − | * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
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| − | : '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]
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| − | [[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
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| − | [[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]
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