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| − | Definition:
| + | #WEITERLEITUNG[[Gleichungssysteme]] |
| − | Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.
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| − | Beispiel:
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| − | $$ I: x+y=35 $$
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| − | $$ II: 2x+4y=94 $$
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| − | = Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
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| − | '''Beispiel:'''
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| − | $$ I: x+y=35 $$
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| − | $$ II: 2x+4y=94 $$
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| − | Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
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| − | '''bei unserm Beispiel:''' Der Punkt (23|12) löst das Gleichungssystem
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| − | $$ I: x+y=35 $$
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| − | $$ II: 2x+4y=94 $$
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| − | '''Begründung:''' Setze den Punkt (23|12) ) ein:
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| − | $$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35 \textrm{ wahre Aussage} $$
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| − | $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94}}=94 \textrm{ wahre Aussage} $$
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| − | Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
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| − | == Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
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| − | '''Methode:'''
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| − | # Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
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| − | # Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen Koeffizienten (Zahlen) vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
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| − | # Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
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| − | # Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[ lineare Gleichung | Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.
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| − | [Video]
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| − | '''Beispiel:'''
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| − | 1. Schritt:Umformauf auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):
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| − | $ \begin{align}
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| − | x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
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| − | 4x&+&2y&=&94&
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| − | \end{align}$
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| − | 2. Schritt: Multipliziere eine der beiden Gleichung:
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| − | $ \begin{align}
| + | |
| − | x&+&y &=& 35& \textrm{ } |\cdot (-2) \\
| + | |
| − | 4x&+&2y&=&94&
| + | |
| − | \end{align}$
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| − | | + | |
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| − | 3. Schritt: Addiere oder Subtrahiere die beiden Gleichungen:
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| − | $ \begin{align}
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| − | -2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } |+\ \ \\
| + | |
| − | 4x&+&2y&=&94& \\
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| − | \end{align}$
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| − | <br>
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| − | 4. Schritt: Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
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| − | $ \begin{align} 2x&+&0&=24 & |:2 \end{align}$
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| − | $ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
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| − | Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
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| − | $ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$
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| − | Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12|23) \} $
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| − | == Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
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| − | == Gleichsetzungsverfahren (Komparationsverfahren) ==
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| − | == Graphisches Verfahren ==
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| − | == Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
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| − | == Verfahren mit GeoGebra-CAS ==
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| − | = Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =
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| − | Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.
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