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| − | | + | #WEITERLEITUNG [[Zahlenmengen]] |
| − | = Theorie =
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| − | [[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]
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| − | Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?
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| − | Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.
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| − | *Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
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| − | *Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
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| − | Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
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| − | == die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} </p>
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| − | Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.
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| − | '''Beispiel:''' $ 7+15=22 $
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| − | Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
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| − | == die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. </p>
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| − | Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.
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| − | $\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.
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| − | '''Beispiele'''
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| − | * $-3+7=4$
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| − | *$ -8-17=-25$
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| − | Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
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| − | Beispiel:
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| − | $$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
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| − | Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:
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| − | Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
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| − | == die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ </p>
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| − | Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''
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| − | Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
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| − | $$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$
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| − | Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
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| − | == die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind </p>
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| − | '''Beispiele:'''
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| − | * $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
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| − | * $\pi =3.14159.... $
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| − | * $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
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| − | * $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
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| − | == die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
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| − | [[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]
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| − | Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
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| − | # endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
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| − | # unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
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| − | so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0"> $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
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| − | Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.</p>
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| − | == die imaginären Zahlen ==
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| − | <span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>
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| − | Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.
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| − | '''Beispiel''':
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| − | $ \sqrt{-1} $
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| − | Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0">
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| − | \begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
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| − | &=&\left\{ \sqrt{-b}\; | b\in \mathbb{R^{+}}\right\}\end{align} </p>
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| − | '''Weitere Beispiele:'''
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| − | * $ \sqrt{-1}=i$
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| − | * $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)
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| − | Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
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| − | == die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==
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| − | [[Datei:RundIm.png|right|$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$]]
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| − | Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.
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| − | | '''Definition:'''
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| − | |<p style="background-color:#E0E0E0">
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| − | $$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ </p>
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| − | Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$
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| − | '''Beispiele'''
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| − | * <span style="background-color:yellow"> 2 </span> + <span style="background-color:#EEA9B8"> 3i </span>
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| − | (jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten <span style="background-color:yellow"> Realteil </span> (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante <span style="background-color:#EEA9B8"> Imaginärteil </span> ist.
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| − | * -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
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| − | * 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
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| − | * 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)
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| − | = Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =
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| − | ==a) Zuordnung==
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| − | [[Datei:Zuordnung.png]]
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | [[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
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| − | [[Kategorie: Zahlen und Maße]]
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