Potenzen (2.2.): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 17. Februar 2016, 09:01 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine Potenz besteht aus einer Basis und einer Hochzahl, dem sogenannten Exponenten:
Beispiele:
- $2^3$
- $5^x$
- $x^{-2}$
- $c^{b+a}$
Im Folgenden sind $a,\ b,\ n,\ m,\ x,\ y\in$ $\mathbb{R}$.
Rechnen mit Potenzen
Nun wollen wir lernen mit Potenzen zu rechnen. Wie können wir zum Beispiel $\left(2^3\right)^4$ oder $\frac{x^2}{x^3}$ berechnen? Hierbei helfen uns die Rechenregeln für Potenzen:
1. Potenzregel
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1. Regel der Potenzrechnung
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. |
Beweis für diese Regel
$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{n+m-mal}=a^{n+m}$
Musterbeispiele: Wende die 1. Regel der Potenzrechnung an:
$x^3\cdot x^2=$
$2^4\cdot 2^3\cdot b^2$
!Achtung! Weiter kannst du diesen Term nicht zusammenfassen, da 2 und b unterschiedliche Basen sind
2. Potenzregel
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2. Regel der Potenzrechnung
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. |
Beweis für diese Regel
$\frac{a^n}{a^m} = \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot. . . \cdot a}^{n-mal} }{\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a}_{m-mal} } \ \ \ \text{Hier können nun insgesamt m Stück a gekürzt werden.}$
$=\underbrace{a\cdot a\cdot . . . \cdot a\cdot a}_{n-m-mal}=a^{n-m}$
Musterbeispiele: Wende die 1. und 2. Regel der Potenzrechnung an:
$\frac{x^3}{x^2}=$
$\frac{2^4\cdot 2^3}{2^5}=$
3. Potenzregel
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3. Regel der Potenzrechnung
$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ Potenzen werden potenziert ("hoch-genommen"), indem man die Exponenten multipliziert. |
Beweis für diese Regel
$\overset{(Regel \ 1)}{=}$ $a^{\overbrace{n+n+. . . +n}^{m-mal} }=a^{n \cdot m}$
Musterbeispiele: Wende die 3. Regel der Potenzrechnung an:
$\left(x^3\right)^2=$
$\left(x^{-3}\right)^2=$
4. Potenzregel
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4. Regel der Potenzrechnung
$a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a ungleich 0 ist. Der Term $0^0$ ist nicht definiert. Genauere Informationen zu $0^0$ findest du hier. |
Beweis für diese Regel
Musterbeispiele: Wende die 5. Regel der Potenzrechnung an:
$x^0=$
$12341234^0=$
5. Potenzregel
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5. Regel der Potenzrechnung
$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bewirkt, dass man den Kehrwert bildet oder verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner, oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten. |
Beweis für diese Regel
Musterbeispiele: Wende die ersten 5 Regeln der Potenzrechnung an:
$\frac{x^2}{x^{-3} }=$
$\frac{x^2\cdot y^2\cdot y^{-1} }{x^{-3}\cdot y^{3} }=$
Tipp: Oft ist es am einfachsten, alle Terme in den Zähler zu heben (mit Regel 5) und dann Regel 1 zu verwenden.
6. Potenzregel
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6. Regel der Potenzrechnung
$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ und\ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
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Beweis für diese Regel
$\overset{(Vertauschungsgesetz)}{=} \underbrace{a \cdot a \cdot . . . \cdot a}_{n-mal} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot . . . \cdot b}_{n-mal}$ $=a^n\cdot b^n$
Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
$(x\cdot y)^3$
$(x^2\cdot y^3)^{-4}$
$\left(\frac{x^2\cdot y^3}{z^{-2} }\right)^{2}:\left(\frac{z^{4}\cdot y^{-3} }{x^2} \right)$
Zuerst wenden wir Regel 7 an. Zusätzlich erinnern wir uns, dass bei der Bruchrechnung dividiert wird, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird: $=\frac{x^4\cdot y^6}{z^{-4} }\cdot \frac{x^2}{z^4\cdot y^{-3} }$ Nun multiplizieren wir die Brüche und wenden Regel 1-4 an: $\frac{x^4\cdot y^6\cdot x^2}{z^{-4}\cdot z^4\cdot y^{-3} } $ $\frac{x^6\cdot y^6\cdot y^{3} }{z^0}=\frac{x^6\cdot y^9}{1}=x^6\cdot y^9$
7. Potenzregel
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7. Regel der Potenzrechnung
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden. |
Beweis für diese Regel
${\left(\sqrt[n]{a} \right)}^n=a$ Es gilt aber auch $\left(a^{\frac{1}{n} }\right)^n \overset{Regel 3}{=}a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a.$ Daraus folgt, dass $\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n} }$ sein muss.
Musterbeispiele: Wende die Regeln der Potenzrechnung an:
$\sqrt[3]{5}=$
$\sqrt[3]{5^{12} }=$
$\frac{2}{\sqrt[3]{x^2} }=$
Zusammenfassungs-Video
Alle Regeln auf einen Blick
| 1. Regel | $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ | Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. |
| 2. Regel | $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ | Potenzen mit derselben Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. |
| 3. Regel | $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$ | Potenzen werden potenziert ("hoch-genommen"), indem man die Exponenten multipliziert. |
| 4. Regel | $a^0=1 \ \ \ \textrm{für }a\neq 0$ | Eine Zahl a hoch 0 ergibt immer 1, solange a $\neq$ 0 ist. |
| 5. Regel | $a^{-n}=\frac{1}{a^n} \ und\ \frac{1}{a^{-n} }=a^n$ |
Verschiebt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten |
| 6. Regel | $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n \ und\ \left( \frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ |
Eine Klammer mit einem Exponenten darüber kann aufgelöst werden, indem man jeden Faktor mit dem Exponenten potenziert (hoch-nimmt) |
| 7. Regel | $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n} }$ |
Der Wurzelexponent n kann kann als Nenner des Exponenten des Exponenten angeschrieben werden. |
