Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

- die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.

- Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)

- Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.

- Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).

- Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe oben).

Der Erwartungswert $E(X)=mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir: $$ \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also 3.5. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht 3.5 Würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interbretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei 3.5 liegen wird.

b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$): $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\ \sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\ =\underline{\underline{1.71} }$$

1. Nehmen wir an, wir haben 4 Personen und insgesamt 4 Plätze, auf die wir sie setzen können. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, die Personen zu reihen? Erklärung: Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 18:22)

Antwort: Es gibt $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$ Möglichkeiten 4 Personen auf 4 Plätze zu setzen (für den ersten Platz gibt es 4 mögliche, für den zweiten Platz noch 3, für den dritten Platz noch 2, und für den letzten Platz noch 1).

2. Nehmen wir nun an, wir haben 9 Personen, aber immer noch 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun aus den 9 Personen 4 zufällig auszuwählen und auf die 4 Plätze zu setzen? Erklärung: Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 26:09)

Antwort: Es gibt $$\frac{9!}{(9-4)!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6$$ Möglichkeiten 4 von 9 Personen auf die Plätze zu setzen.

3. Und zum Schluss überlegen wir uns nun, wir haben 9 Personen und 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann, die Plätze zu besetzen, wenn uns die Reihenfolge egal ist? Erklärung: Wir wissen bereits, dass es $\frac{9!}{(9-4)!}$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Zwei dieser Möglichkeiten wären die folgenden:

Bild

und

Bild 2

Da uns dieses Mal die Reihenfolge egal ist, gehören beide Bilder zur selben Möglichkeit. Genauso gehören alle weiteren Vertauschungen von dieser Kombination zur selben Möglichkeit. Insgesamt können wir wir diese Kombination auf $4!$-Möglichkeiten vertauschen. Somit erhalten wir für als Gesamtformel: $$\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$ wobei wir dieses Mal mit $\frac{1}{4!}$ um alle Reihungen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, abziehen.

Eine verkürzte Schreibweise ist nun der sogenannte Binimialkoeffizient $$\binom{9}{4}=\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$ der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 Personen auf 4 Plätze zu setzen, wenn die Reihenfolge egal ist.

Allgemein: $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).

• Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus 6 Kugeln werden 5 gezogen).

$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5} }{\binom{45}{6} }=\frac{6}{8.145.060}$$

$$P(X=3)=?$$

Es gibt hier mehrer Möglichkeiten, von den insgesamt 4 Ziehungen 3 mal eine rote Kugel zu ziehen also insgesamt: $$\binom{4}{3}=4$$ (r,r,r,b); (r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r).

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ergebnis. Nehmenn wir zum Beispiel (r,r,r,b). Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $1-p=\frac{13}{20}$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (r,r,r,b) aufgrund der Multiplikationsregel $$p\cdot p\cdot p\cdot q=p^3\cdot q^1$$ Für die anderen Ausfälle(r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r) gilt dasselbe. Somit erhalten wir: $$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{Anzahl\ der\ Fälle}\cdot \underbrace{p^3\cdot q^1}_{Wahrscheinlichkeit\ für\ einen\ dieser\ Fälle}=...$$