Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$) | ||
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| + | Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge: | ||
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| + | : - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$) | ||
| + | : - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt. | ||
| + | : - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1). | ||
| + | : - Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der '''Wahrscheinlichkeitsfunktion''' (siehe oben). | ||
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== Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung == | == Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung == | ||
Version vom 2. November 2014, 16:22 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Zufallsvariablen
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Das Ergenis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "Zufallsvariable" $X$ beschrieben werden.
Die Zufallsvariable ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.
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Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:
- Die diskrete Zufallsvariable hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen)
- Die stetige Zufallsvariable hat als Wertebereich ein Intervall in den reellen Zahlen einen nicht abzählbaren Wertebereich
Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.
Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$ wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$) |
Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, som müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen: $$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$
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Die Verteilungsfunktion $F$ ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt. |
Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
Hinweise zur Verteilungsfunktion:
Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
- - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.
- - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)
- - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
- - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).
- - Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe oben).
Erwartungswert und Standardabweichung
Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens
Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung
