Wahrscheinlichkeit: Grundlagen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 11. April 2020, 15:46 Uhr

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel

• dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
• dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
• ...

und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

Einstieg

Frage zum Einstieg: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine $3$ zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (nicht manipulierten) sechsseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7 \%$.

Abgekürzt schreibt man auch $$P(3er)=\frac{1}{6}$$ wobei $P(3er)$ für „Wahrscheinlichkeit (engl. probability) für einen $3$er“ steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$? Ganz einfach: Insgesamt gibt es $6$ mögliche Versuchsausgänge ($1$er, $2$er, $3$er, $4$er, $5$er, $6$er) und nur bei einem davon kommt eine $3$. Also: Bei $1$ von $6$ $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein $3$er.

Begriffe

• Die Menge aller möglichen Versuchsausgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$.

Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$

• Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.

Im obigen Beispiel war $E=$ „ein 3er wird gewürfelt“.

Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit

Machen wir noch ein paar Beispiele. Wieder geht es um das einmalige Würfeln eines $6$-seitigen Würfels:

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

Definition

Regel von Laplace Bei einem Zufallsversuch, bei dem a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt, gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$: $$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für $E$ günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$

? Auf dieser Seite findest du weitere Übungen.

Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse

Zu allererst zwei Überlegungen:

Merke

Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas sicher passiert, ist $100 \%=1$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ wirft, ist $100 \%$). $$P(\Omega)=1$$ wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist. Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist $0$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit beim Münzwurf eine $6$ zu würfeln ist $0 \%$.) $$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

Nun zu folgendem Beispiel:

Merke

Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ („nicht $E$“) beträgt: $$P(\bar{E})=1-P(E)$$

Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon

Additionsregel („ODER“-Regel)

Zuerst eine kleine Definition:

Definition

2 Ereignisse $E$ und $F$ sind „unvereinbar“, wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert: $$P(E\cap F)=0$$ „Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ und ($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist $0$.“

Beispiel: Das Ereignis $E=$ „ich würfle eine $6$“ und das Ereignis $F=$ „ich würfle eine $1$“ sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen: $E=$ „ich würfle eine $6$“ und $F= $ „ich würfle eine gerade Zahl“. Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein $6$er gewürfelt wird).

Nun zur

Merke

Additionsregel („Oder“-Regel) Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt: $$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$ („Die Wahrscheinlichkeit $E$ oder ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist $P(E)$ plus $P(F)$“)

Multiplikationsregel („UND“-Regel)

Zuerst wieder eine kleine Definition:

Definition

$2$ Ereignisse $E$ und $F$ sind „unabhängig voneinander“, wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat. Z. B.: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam.

Und nun zur

Merke

Multiplikationsregel (UND-Regel): Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammen auftreten: $$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ und ($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$.

Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel

Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit

Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung. Beim Würfeln gibt $$P(3er)=\frac{1}{6}$$ an, dass ungefähr in einem von $6$ Würfen ein $3$er erscheint. Eigentlich meint man aber eher folgendes: „Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen“. D. h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der relativen Häufigkeit an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall $[0;1]$ aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit $P(E)$ (= Propability/Probabilität von $E$).

Hier noch ein Beispiel zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit nähert.

Interaktives Quiz zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4)