Exponentialfunktion aufstellen

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• $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$
• $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $
• Matura-Beispiele

FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=c\cdot a^x $ aufstellen

In diesem Abschnitt wird die Darstellungsform $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ verwendet. Das Vorgehen mit Hilfe zweier Informationen funktioniert bei der Darstellungsform zur Basis $e$ auf die selbe Weise: $N(t)=N_0 \cdot e^{±\lambda \cdot t} $

Anfangswert und Änderungsfaktor ermitteln

Merke

Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ bzw. $N(t)=N_0\cdot a^t$ aufstellen, gehe so vor: Möglichkeit 1: Direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie den Änderungsfaktor $a$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Möglichkeit 2: Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $f(x):=c\cdot a^x$ in CAS, gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit Löse({Gl1,Gl2},{a,c}) und ≈.

Achtung: $a$ muss immer eine positive Zahl sein! Mit dem Shortcut $x\color{red}{≈}$ kommt oft nur die negative Lösung für $a$ heraus.

Wie sieht das in GeoGebra CAS aus?

$\rightarrow $
Die richtige Antwort lautet $f(x)=30\cdot 1,29567^x $

WH:

• Der Punkt $(2|50)$ wird in GeoGebra CAS zur Gleichung $f(2)=50$. GeoGebra setzt dies dann in die allgemeine Funktionsgleichung ein und gibt in der Ausgabe der Zeile $c\cdot a^2=50$ an.
• Eine ausführliche Wiederholung findest du hier: Wiederholung

Aufgabe: Begründe, warum man zwei Punkte benötigt, um die Exponentialfunktion aufzustellen.

Aufgabe: Überlege, welche andere Funktion mit zwei Infos aufgtestellt werden kann.

Übungsbeispiel: Möglichkeit 1 mit dem Matura-Beispiel Kunststoffmüll a1)

Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Masse an Kunststoff kann näherungs weise durch die Exponentialfunktion $f$ beschrieben werden.

$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1950
$f(t)$... jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff zur Zeit $t$ in Millionen Tonnen

Im Jahr 1950 betrug die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff 2 Millionen Tonnen. Seitdem stieg die jährlich weltweit produzierte Masse an Kunststoff um jeweils 8,5 % pro Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr an.

Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $f$ auf.

Tipp 1:

Nütze folgende Informationen der Formelsammlung (S. 12):

Tipp 2:

Hier musst du aus dem Text den Anfangswert sowie die jährliche prozentuelle Änderung herauslesen und entsprechend in die Form $f(t)=c\cdot a^t$ einsetzen. Du musst wissen, dass $c$, also die Zahl ohne den Exponenten, der Anfangswert und $a$, die Zahl mit dem Exponenten, der Änderungsfaktor ist. Der Änderungsfaktor gibt an, AUF wie viel % der Grundwert jährlich ansteigt: $ 100 \% + 8,5 \% = 108,5 \% \mathrel{\hat=} 1,085 $.

Lösung:

$f(t)=2\cdot 1,085^t $

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel W-Lan b1)

Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion $d$.

$d(x)=c\cdot a^x $

$x$... Entfernung in m $d(x)$... Datenübertragungsrate in einer Entfernung $x$ in Mbit/s

Sie ermittelt folgende Messwerte:

Berechnen Sie die Parameter $a$ und $c$ der Exponentialfunktion $d$.

Tipp:

• Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist (Wiederholung).
• Überlege dir, wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest und suche in der Angabe entsprechend viele Informationen.
• Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $d(...)=... $ ein.

Lösung:

$c≈772,22605 $ und $a≈0,91674$

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Änderungsfaktor ermitteln

Merke

Sonderfall bei Möglichkeit 2: Bei einer Exponentialfunktion $f(x)=c\cdot a^x $ kannst du den Änderungsfaktor $a$ auch unabhängig vom Anfangswert $c$ herausfinden. Dazu brauchst du nur eine Information. Dafür gibt es mehrere Wege: Weg 1: zwei unterschiedliche Möglichkeiten in GeoGebra CAS - Definiere die allgemeine Funktionsgleichung und setze gleich für den Anfangswert $c=1$ ein ($1 \mathrel{\hat=} 100 %$) z.B. $f(x):=1\cdot a^x$ in CAS, gib die Info (z.B. ein Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit Löse(Gl1,a) und ≈ oder dem Shortcut $x\color{red}{≈}$. - Definiere die allgemeine Funktionsgleichung, gib die Info als Gleichung ein und löse sie mit Löse(Gl1,a). Achtung: Hier funktioniert der Shortcut nicht! Weg 2: Verwende das geometrische Mittel.

WH: geometrisches Mittel $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $

Beispiel zum geometrischen Mittel

Das Kapital ist in drei Jahren insgesamt um 22,5034 % angestiegen. Berechne, um wie viel Prozent das Kapital durchschnittlich pro Jahr angestiegen ist.

Lösung:

• Der Änderungsfaktor der prozentuellen Änderung über die drei Jahre ist $(1+\frac{22,5034}{100} ) = 1,225034 $
• Der Änderungsfaktor für die prozentuelle Änderung in einem Jahr $a$ berechnet man mit

$a= \sqrt[3]{1,225034} ≈1,07 \mathrel{\hat=} 107 % $
D.h. das Kapital steigt innerhalb eines Jahres AUF 107 %.

• Antwort: Das Kapital steigt im Mittel UM 7 % pro Jahr.

Übungsbeispiel: Sonderfall Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Leuchtdioden c1)

Ein Maß für die Helligkeit einer Lichtquelle ist der sogenannte Lichtstrom. Dieser wird in der Einheit Lumen angegeben. Man geht davon aus, dass der maximale Lichtstrom von LEDs durch technische Weiterentwicklung exponentiell ansteigen wird. Dabei gilt: Alle 10 Jahre steigt der maximale Lichtstrom von LEDs auf das 20-Fache. Diese Entwicklung kann durch eine Exponentialfunktion $L$ modelliert werden.
$L(t)=L_0 \cdot a^t $

$t$... Zeit in Jahren
$L(t)$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t$ in Lumen
$L_0$... maximaler Lichtstrom zur Zeit $t=0$ in Lumen
$a$... positiver Parameter

Berechnen Sie den Parameter $a$.

Tipps zu den Lösungswegen:

Entscheide dich zuerst für einen Lösungsweg:

• Möchtest du die Aufgabe mit GeoGebra und dem bisherigen Vorgehen lösen? Dann öffne den Tipp A!
• Möchtest du die Aufgabe mit dem geometrischen Mittel lösen? Dann öffne den Tipp B!

Tipp A:

Definiere die Funktionsgleichung in GeoGebra CAS. Da der Änderungsfaktor $a$ unabhängig vom Anfangswert ist, kannst du für $L_0$ einfach eine beliebige Zahl einsetzen. Nun musst du nur noch einen Parameter berechnen und brauchst nur noch eine Gleichung der Form $L(...)=...$ aufstellen.

Tipp B:

Setze die Informationen der Angabe in $a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} $ ein. Tust du dir beim Änderungsfaktor der gesamten Änderung schwer, kannst du dies mit einem einfachen Beispiel herausfinden. Angenommen wir haben einen Lichtstrom von 2 Lumen. Mit welcher Zahl multiplizierst du 2, um auf den Lichtstrom in 10 Jahren zu erhalten? Dieser Faktor ist der Änderungsfaktor der gesamten Änderung.

Lösung:

$a≈1,34928$

Mit GeoGebra-CAS: Die negative Lösung für $a$ ist im Kontext eines Änderungsfaktors nicht sinnvoll!

oder

Mit dem geometrischen Mittel:

$a= \sqrt[ \text{Zeitspanne}]{\text{Änderungsfaktor der gesamten Änderung}} = \sqrt[10]{20} ≈1,34928 $

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Festigung

Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung

Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

FktGl. einer Exponentialfunktion der Form $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen

Merke

Willst du eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ aufstellen, gehe so vor: Möglichkeit 1: Beim exponentiellen Zerfall direkt aus dem Text: Finde den Anfangswert $c$ sowie die Zerfallskonstante $\lambda $ oder die durchschnittliche Lebenserwartung $\frac{1}{\lambda}$ heraus und setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Möglichkeit 2: Mit zwei Informationen: Definiere die allgemeine Funktionsgleichung z.B. $N(t)=N_0\cdot e^{±\lambda \cdot t} $ in CAS, gib die zwei Infos (z.B. zwei Punkte) als Gleichung ein und löse sie mit Löse({Gl1,Gl2},{a,c}) und ≈.

Übungsbeispiel: Möglichkeit 1

Das radioaktive Isotop Radon-222 zerfällt unter Aussendung von Alphastrahlung. Seine durchschnittliche Lebensdauer beträgt etwa $5,52$ Tage. Zu Beginn einer Beobachtung befinden sich $8\cdot 10^{10} $ Radon-222-Atomkerne in einer Probe.

$t$... Zeit in Tagen
$N(t)$... Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne zur Zeit $t$

Stellen Sie eine Gleichung der Exponentialfunktion $N$ auf.

Tipp 1:

In der Angabe sind durchschnittliche Lebensdauer und ... zerfällt ... Signalworte dafür, dass du die Funktionsgleichung $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t} $ verwenden musst. Setze den Anfangswert für $N_0$ gleich in die Funktionsgleichung ein. Finde den Wert $\lambda $ heraus, indem du die Gleichung $\text{durchschnittliche Lebenserwartung} = \frac{1}{\lambda} $ löst.

Tipp 2:

Lösung:

$N(t)=8\cdot 10^{10} \cdot e^{-0,18116\cdot t} $

Quelle:

Angabe: mit Hilfe von ChatGPT erstellt

Übungsbeispiel: Möglichkeit 2 mit dem Matura-Beispiel Obst c1)

Die Obstanbaufläche in Österreich ist in den letzten Jahrzehnten zurückgegangen. Im Jahr 1960 betrug die Obstanbaufläche rund 28 000 Hektar (ha). Im Jahr 2005 betrug die Obstanbaufläche rund 15 000 ha.
Die Entwicklung der Obstanbaufläche lässt sich für diesen Zeitraum näherungsweise durch die Exponentialfunktion $A$ beschreiben.

$A(t)=A_0\cdot e^{-k\cdot t} $
$t$... Zeit in Jahren mit $t=0$ für das Jahr 1960
$A(t)$... Obstanbaufläche zur Zeit $t$ in ha
$A_0, k$...Parameter

Ermitteln Sie die Parameter $A_0$ und $k$.

Tipp:

• Überlege dir, wie du beim Aufstellen von Funktionsgleichungen bisher in GeoGebra vorgegangen bist (Wiederholung).
• Überlege dir, ob du bereits einen Parameter direkt in die Funktionsgleichung eingeben kannst und wie viele unbekannte Parameter du berechnen möchtest. Suche in der Angabe nach entsprechend viele weiteren Informationen.
• Überlege dir, welches laut der Angabe die unabhängige sowie die abhängige Variable ist und setze diese Informationen in die Gleichung $A(...)=... $ ein.

Lösung:

$A_0=28000 $ und $k=0,01387...$

Quelle:

Angabe: Bundesministerium für Bildung, SRDP-Aufgabenpoo, CC BY 4.0

Matura-Beispiele

Du kannst auch den Titel der Aufgabe im Aufgabenpool im Feld Volltext-/ ID-Suche eingeben. Damit kommst du zum PDF der gesamten Aufgabe sowie zum Erklärvideo.

• Pilze* d1)
  Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln
  
• Nachhaltige Entwicklungsziele* c1)
  Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln
  
• Kunststoff* b2)
  Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln
  
• Weltbevölkerung* a1)
  Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
• Käse* a1)
  Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
• Raucherentwöhnung* b1)
  Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln
  
• Sonnenblumen* b1)
  Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $a$ ermitteln
  
• Obst* c1)
  Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln
  
• Winterdienst* c1)
  Funktionsgleichung (egal welche Darstellungsform) aufstellen
  
• Desinfektion* a1)
  Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
  
• Sonnenlicht und Vitamin D* b1)
  Parameter der Funktionsgleichung zur Basis $e$ ermitteln
  
• Streaming* a1)
  Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen
  
• Sozialausgaben (1)* b1)
  Funktionsgleichung zur Basis $a$ aufstellen